2.基本不等式优质课教学设计

《基本不等式》教学设计

【教学目标】

知识与技能：掌握重要不等式和基本不等式两个定理的内容，从几何的角度进行探究来解释两个定理，并能利用基本不等式解决相关的应用问题. 过程与方法：通过对定理的应用的研究，渗透“转化与化归”的数学思想，培养学生发现问题，分析问题和解决问题的能力．

情感态度与价值观：在学习和解决问题的过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察，勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度. 【教学重点、难点】

教学重点：用基本不等式求某些函数的最值及相关的应用问题．

教学难点：理解定理的使用条件. 【教学手段】

计算机辅助教学

【教学方法】

发现法，归纳法，讲练结合法；

【教学过程】

一、复习提问 引入新课：

在必修5我们学过重要不等式，也让大家进行了预习，下面我们一起来回顾一下这些知识. 请同学们说出重要不等式和基本不等式的内容，并引导学生说出基本不等式的两个变形，教师将两个定理的内容用计算机展示出来，并将变形板书在黑板上.

基本形式

其他形式

重要22ab2ab

若，则a,bR不

等（当且仅当ab时取“=”）. 式与*若，则ab2ab

a,bR基本（当且仅当ab时取“=”）

不ab积定和最小

等*ab若，则

a,bR式22及ab*ab（当且仅当时取“=”）

若，则aba,bR

其2变形（当且仅当ab时取“=”）

和定积最大

二

、师生互动

探究新知

1.从几何角度解释重要不等式

1

对学生回答中可能出现的问题进行纠正.

如果把实数a,b作为线段长度，那么可以这样来解释定理1：

(图形通过计算机展示出来) 以a大于等于b为例，如图，在正方形ABCD中，AB=a,在正方形CEFG中，EF=b.那么

S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2

矩形BCGH和矩形JCDI的长均为a，宽均为b，它们面积的和是

S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab

矩形BCGH和矩形JCDI的公共部分是正方形JCGK，它的边长等于b，其面积与正方形CEFG相等.所以，上述两个矩形面积的和2ab就等于图中阴影部分的面积，

它不大于正方形ABCD与正方形CEFG面积的和，即

a2b22ab

当且仅当a=b时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分的面积等于正方形ABCD与正方形CEFG面积的和，即

a2+b2=2ab

2.从几何角度解释基本不等式

如图(图形通过计算机展示出来)，CD是RtABC中斜边AB上的高，OC是斜边AB上的中线，AD=a，BD=b.于是，

11OCAB(ab)

22因为DCAA90,BA90

所以DCA=B

于是RtDCA相似于RtDBC

从而ABCDaCD,即

CDBDCDb所以CD=ab

abab

2abab

当ab时，RtABC斜边AB上的中线CO和高CD重合，所以2综上所述可知，基本不等式的几何意义是：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高.

当ab时，在RtOCD中，斜边CO大于直角边CD，所以三、自我尝试

运用新知

例1.求证：

（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；

（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短.

2

例2 .某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

1600l240000720(x)

x16002400007202x

x2400007202402976001600,即x40时,l有最小值2976000.

当xx因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件

四、回顾反思

归纳小结

下面请同学们从三个方面来回顾本节课

（1）这节课学习的主要内容是什么？

（2）使用定理求最值需要注意什么？

（3）本节知识的学习渗透了哪些数学思想？

（先由学生叙述，最后教师补充整理）

小结：

（1）使用基本不等式求某些函数的最值，并解决相关的应用问题；

（2）使用定理时需要注意：

“一正 、二定 、三相等”；

（3）渗透了“转化与化归”、“数形结合”的数学思想. 五、作业布置

必做题：教材P.10习题1.1的第5、6、10题;

选做题：求函数f(x)

3 x25x42最小值.

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