探究与发现 组合数的两个性质教学实录及点评

1.2.1 排列第二课时

教学目的：

1熟练掌握排列数公式；

2.熟悉并掌握一些分析和解决排列问题的基本方法；

3.能运用已学的排列知识，正确地解决简单的实际问题

教学重点：分析和解决排列问题的基本方法

教学难点：分析和解决排列问题的基本方法

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1、分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有

Nm1m2mn种不同的方法。

2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有Nm1m2mn

种不同的方法

3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

．．．．．．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫m做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号An表示

m5．排列数公式：Ann(n1)(n2)(nm1)（m,nN,mn）

说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个

少1，最后一个因数是nm1，共有m个因数；

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（2）全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列

n全排列数：Ann(n1)(n2)21n!（叫做n的阶乘）

6阶乘的概念：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，这时nAnn(n1)(n2)nn!

，把正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘表示：

即An321；n!，规定0!1．

m7．排列数的另一个计算公式：An=n!

(nm)!二、讲解范例：

例1．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素3的一个排列，因此不同送法的种数是：A5

54360，所以，共有60种不同的送法。（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：555125，所以，共有125种不同的送法。

说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分送给3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算。

例2．将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？

分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车4上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有A4种方法；

4第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有A4种方法，

利用分步计数原理即得分配方案的种数

44解：由分步计数原理，分配方案共有NA4A4576（种）

答：共有576种不同的分配方案。

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例3．（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？

7解：问题可以看作：7个元素的全排列A7＝5040．

（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？

解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．

（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

6解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——A6=720．

（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

2解：根据分步计数原理：第一步

甲、乙站在两端有A2种；

255第二步

余下的5名同学进行全排列有A5种，所以，共有A2=240种排列方法

A5（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

2解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A552种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有A5种方法，所以一共有A55＝2400种排列方法。

A566解法2：（排除法）若甲站在排头有A6种方法；若乙站在排尾有A6种方法；若甲站在排头57且乙站在排尾则有A5种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有A7－65＋2A5=2400种．

4A6说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑

三、课堂练习：

1．将1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，没格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法（

）种.

A．

6

B．

9

C．

11

D．

23

2．有5列火车停在某车站并排的五条轨道上，若快车A不能停在第三条轨道上，货车B不能停在第一条轨道上，则五列火车的停车方法有（

）种.

A．78

B．72

C．120

D．96

3．由0，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（

）

[键入文字]

A．9

B．21

C．

24

D．42

,5,0,1,2,3,74．从9七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程axbyc0的系数，则倾斜角为钝角的直线共有（

）条.

A．

14

B．30

C．

70

D．60

5．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，有_____种不同的种植方法。

6．9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有

种。

7．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的正整数？

（2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，并且比13000大的正整数？

8．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的出场顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2、5、7、10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3、6、9的位置，2个曲艺节目要求排在第4、8的位置，共有多少种不同的排法？

9．某产品的加工需要经过5道工序，

（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少种排列加工顺序的方法？

（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？

10．一天的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理六节课，要求上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有多少种不同的排法？

11. 由数字0，1，2，3，4，（1）可组成多少个没有重复数字且比20000大的自然数？（2）2不在千位，且4不在十位的五位数有多少个？

答案：1. B

2. A

3.

B

4. C

5. 24

6. 166320

7.（1）325；

（2）114 8. 288

9.（1）96；

（2）36

10. 48 1413121411. （1）A3（AAA2AAAA472,（2）44332264）

四、小结

：分析和解决排列问题的基本方法；对于“在”与“不在”的问题的处理方法

五、课后作业：

六、板书设计（略）

七、课后记：

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