二 一般形式的柯西不等式教学设计思路

《二维形式的柯西不等式》（第一课时）教学设计

定州市实验中学 郭华

Ⅰ．教学内容解析

柯西不等式是法国著名数学家柯西在研究分析中的“流数”问题时发现的，它不仅有着对称、和谐的美感，而且是数学分析和数学物理方程研究中的一个重要的不等式，具有重要的应用价值，是非常著名的经典不等式之一. 教材中安排柯西不等式是希望能通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题．

Ⅱ．教学目标设置

教学目标

知识与技能

过程与方法

（1）学生认识二维形式的柯西不等式的结构特点、等号成立的条件及其变式；

（2）学生能用柯西不等式证明简单的不等式，会求一些简单函数的最值.

通过平面向量的数量积的性质探究发现柯西不等式，并用柯西不等式证明简单的不等式、求一些简单函数的最值. 通过对柯西的了解，发现数学的简洁、对称美，激发学生学习数学的兴趣. 教学重点

教学难点

情感、态度与价值观

二维形式的柯西不等式及其简单应用. 二维形式的柯西不等式的结构特点及应用. Ⅲ．学生学情分析

学生在此之前已学过有关不等式证明的知识，并在必修教材中学***面向量的有关内容. Ⅳ．教学策略设计

课堂上，在教师的引导下利用课件充分的让学生参与教学, 师生互动，生生之间合作探究，实现本节课的三维目标. 1

Ⅴ．教学过程设计 见下表

教学环节

导入新课

教学过程及教学内容

了解大数学家柯西的生平及其在科学领域的主要贡献

学生活动

设计意图

渗透数学史的相关知识..

激发学习的学习兴趣.

问题1：设和是平面内的两个向量，那么与的数量积的定义是什么？

探究定理

从学生已经学过的平面向量的数量积的概念入手，问题2：根据数量积的定义，怎样计算？与的教师提出问题，学生单独作探究发现柯西不等式的向大小关系如何？为什么？

量形式，自然流畅。符合答

从学生的“最近发展区”

入手的基本教学理念。

问题3：设在平面直角坐标系xoy中有向量(a,b)，(c,d)，那么不等式又可以怎样表示呢？

2

定理1（二维形式的柯西不等式）

若a,b,c,d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立. 呈现发现结果，并结合定分析、判断、归纳、概括。

理强调公式的结构特点、

等号成立的条件以及公式变式等.

根据二维形式的柯西不等式填空：

1、已知a,b,c,d是非负实数，(ab)(cd)(acbd)2；

练一练

2、4x132x3、(2x3y)1、a2b224232(x1)(2x)；

巩固训练,再次强化对柯独立完成练习，交流表述结西不等式结构特点的把果。

握. ()(x2y2)

c2d2acbd

c2d2acbd

学生独立完成，适当给与提巩固训练,让学生了解柯示。

西不等式的变式。

判断正误

2、a2b23、a2b2c2d2acbd

例题分析

例题设计考虑到层次性，通过例题和针对训练，进学生独立完成，教师予以点一步巩固学生对柯西不等

评

式的结构特点的把握，体11针对训练一、

已知x,yR，xy2,求证：2。会柯西不等式在具体问题xy中的应用，培养学生知识11例1、设a,bR，ab1，证明4. ab3

例2、已知x2y1,求x2针对训练二、

已知2x2

y的最小值。2的迁移能力，渗透等价转化的数学思想.

3y26,求证：x2y11

例3、求函数y4x132x的最大值。

针对训练三、求函数y1、

2、

5x1102x的最大值。11

已知a,bR,求(a)(2b)的最小值。b2a提升检测

114

已知abc,求证：。abbcac3、已知a、b、c、d为实数，求证: 加深难度，适当给与提示，针对练习，有助于学生对学生独立完成，第三题的涉知识的加深理解和能力提及为第二课时打基础。

高

a2b2c2d2(ac)2(bd)2

一、柯西不等式

①结构特点；

②等号成立的条件；

③变式. 二：应用

①证明不等式； ②求函数的最值. 三、数学思想：

①数形结合； ②等价转化. 课堂小结

4