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章末分层突破

[自我校对] ①散点图

^x＋a^

②^y＝b③残差图

④相关指数

⑤等高条形图

线性回归分析

回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．根据两个变量的一组观测值，可以画出散点图或利用相关系数r，判断两个变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，可得出线性回归直线方程．

利用公式求回归直线方程时应注意以下几点：

1

^时，利用公式b^＝(1)求bi＝1

xi－xyi－y

xi－x2nn1，先求出x＝n(x1＋x2＋x3＋…＋i＝11^＝y－b^

x求a^的值，并写出回归直线方xn)，y＝n(y1＋y2＋y3＋…＋yn)．再由a程．

(2)回归直线一定经过样本的中心点(－x，－y)．

^和斜率b^都是通过样本估计得来的，存在误差，(3)回归直线方程中的截距a这种误差可能导致预报结果的偏差．

^＋b^x中的b^表示x每增加1个单位时预报变量y的平均(4)回归直线方程^y＝a^表示预报变量y不随x的变化而变化的部分．

变化量，而a(5)在一元线性回归模型中，相关指标R2与相关系数r都能刻画线性回归模型拟合数据的效果．|r|越大，R2就越大，用线性回归模型拟合数据的效果就越好．

关于x与y有以下数据：

x y 2

30

4

40

5

60

6

50

8 70 ^＝6.5，

已知x与y线性相关，由最小二乘法得b(1)求y与x的线性回归方程；

(2)现有第二个线性模型：^y＝7x＋17，且R2＝0.82. 若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．

^. 【规范解答】

(1)依题意设y与x的线性回归方程为^y＝6.5x＋a2＋4＋5＋6＋8－x＝＝5，

530＋40＋60＋50＋70－y＝＝50，

5^经过(－∴^y＝6.5x＋ax，－y)，

^，∴a^＝17.5，

∴50＝6.5×5＋a

2

^∴y与x的线性回归方程为y＝6.5x＋17.5. (2)由(1)的线性模型得yi－^yi与yi－－y的关系如下表：

yi－^yi

yi－－y

5－0.5

－20

－3.5

－10

10

10

－6.5

0

0.5 20 所以

(yi－^yi)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋(－10)2＋(－6.5)2＋0.52＝155. i＝1i＝1y)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000. 

(yi－－55i＝1yi2

yi－^5所以R21＝1－i＝1y2

yi－－155＝1－1 000＝0.845. 222由于R21＝0.845，R＝0.82知R1>R，

所以(1)的线性模型拟合效果比较好．

[再练一题] 1．已知某连锁经营公司的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：

商店名称

销售额x(千万元)

利润额y(千万元)

(1)画出散点图；

(2)根据如下的参考公式与参考数据，求利润额y与销售额x之间的线性回归方程；

(3)若该公司还有一个零售店某月销售额为10千万元，试估计它的利润额是多少．

x

－yxiyi－n－x2xi2－n－nnA 3

2

B 5

3

C 6

3

D 7

4

E

9 5 ^＝(参考公式：bi＝1^＝－^－，ay－bx. i＝1

3

其中，xiyi＝112，x2i＝200) i＝1i＝155【解】

(1)散点图．

3017－－^＝112－5×6×3.4＝(2)由已知数据计算得n＝5，x＝5＝6，y＝5＝3.4，b200－5×6×6^＝3.4－0.5×6＝0.4. 0.5，a则线性回归方程为^y＝0.5x＋0.4. (3)将x＝10代入线性回归方程中得到^y＝0.5×10＋0.4＝5.4(千万元)．

即估计该零售店的利润额约为5.4千万元．

非线性回归分析

一般地，有些非线性回归模型通过变换可以转化为线性回归模型，即借助于线性回归模型研究呈非线性回归关系的两个变量之间的关系．具体处理方法为：

(1)描点，选模．画出已知数据的散点图，把它与已经学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数．

(2)解模．先对变量进行适当的变换，再利用线性回归模型来解模．

(3)比较检验．通过回归分析比较所建模型的优劣．

常见的非线性函数转换方法：

(1)幂型函数y＝axm(a为正数，x，y取正值) 解决方案：对y＝axm两边取常用对数，有lg y＝lg a＋mlg x，令u＝lg y，v＝lg x，则原式可变为u＝mv＋lg a，其中m，lg a为常数，该式表示u，v的线性函数．

(2)指数型函数y＝cax(a，c>0，且a≠1) 解决方案：对y＝cax两边取常用对数，则有lg y＝lg c＋xlg a，令u＝lg y，则原式可变为u＝xlg a＋lg c，其中lg a和lg c为常数，该式表示u，x的线性函

4

数．与幂函数不同的是x保持不变，用y的对数lg y代替了y. k(3)反比例函数y＝x(k>0) 1解决方案：令u＝x，则y＝ku，该式表示y，u的线性函数．

(4)二次函数y＝ax2＋c

解决方案：令u＝x2，则原函数可变为y＝au＋c，该式表示y，u的线性函数．

(5)对数型函数y＝clogax

解决方案：令x＝au，则原函数可变为y＝cu，该式表示y，u的线性函数．

某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关，经统计得到如下数据：

x y 1

10.15

2

5.52

3

4.08

5

2.85

10

2.11

20

1.62

30

1.41

50

1.30

100

1.21

200 1.15 作出x与y的散点图，判断x与y之间的关系，并建立y与x的回归方程．

【精彩点拨】

首先作出x与y的散点图，根据散点图特征，判断x与y的关系并建立y与x的回归方程．

【规范解答】

散点图如图所示：

由图可知，该散点图与反比例函数图象拟合得最好．于是，作变量变换u＝1x，问题所给数据变成如下表所示的10对数据：

ui

yi

ui

yi

1

10.15

0.05

1.62

0.5

5.52

0.03

1.41

0.33

4.08

0.02

1.30

0.2

2.85

0.01

1.21

0.1 2.11 0.005 1.15 然后作相关性检验：r≈0.999 8，我们认为u与y之间具有线性相关关系，

5

^^由y对u的回归方程有意义，通过计算可知b≈8.973，a≈1.125，故回归直线方18.973程为^y＝8.973u＋1.125，最后代回u＝x可得，^y＝1.125＋x. [再练一题] 2．一个昆虫的某项指标和温度有关，现收集了7组数据如下表：

温度x/℃

某项指标y 2

3

4

5

6

7

8 5.790

6.810

8.199

10.001

12.190

14.790

17.801 试建立某项指标y关于温度x的回归模型，并判断你所建立的回归模型的拟合效果．

【解】

画出散点图如图所示，样本点并没有分布在某个带状区域内，而是分布在某一条二次函数曲线y＝Bx2＋A的周围．

令X＝x2，则变换后的样本点应该分布在y＝bX＋a(b＝B，a＝A)的周围．

由已知数据可得变换后的样本数据表：

X 某项指标y 4

5.790

9

6.810

16

8.199

25

10.001

36

12.190

49

14.790

64 17.801 计算得到线性回归方程为^y＝0.199 94X＋4.999 03. 用x2替换X，得某项指标y关于温度x的回归方程^y＝0.199 94x2＋4.999 03. 计算得R2≈0.999 997，几乎为1，说明回归模型的拟合效果非常好．

独立性检验

独立性检验是判断两个分类变量之间是否有关系的一种方法．在判断两个分类变量之间是否有关系时，作出等高条形图只能近似地判断两个分类变量是否有

6

关系，而独立性检验可以精确地得到可靠的结论．

独立性检验的一般步骤：

(1)根据样本数据制成2×2列联表．

(2)根据公式计算K2的观测值k. (3)比较k与临界值的大小关系作统计推断．

为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．

(1)根据以上数据列出2×2列联表；

(2)判断40岁以上的人患胃病与生活规律是否有关．

【精彩点拨】

(1)解决本题关键是首先弄清问题中的两个分类变量及其取值分别是什么，其次掌握2×2列联表的结构特征．

(2)利用2×2列联表计算K2的观测值，再结合临界值表来分析相关性的大小．

【规范解答】

(1)由已知可列2×2列联表如下：

患胃病

20

生活规律

60

生活不规律

80

总计

(2)根据列联表得K2的观测值为

540×20×260－200×602k＝≈9.638. 80×460×220×320因为9.638>7.879，

因此，我们在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为40岁以上的人患胃病和生活规律有关．

[再练一题] 3．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

总计

未患胃病

200

260

460

总计

220 320 540

7

男生

女生

总计

10

5

50 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为0.6. (1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；

(2)能否有99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．

2nad－bc(参考公式：K2＝，

a＋bc＋da＋cb＋d其中n＝a＋b＋c＋d) 【解】

(1)依题意可知喜爱打篮球的学生的人数为30. 列联表补充如下：

男生

女生

总计

喜爱打篮球

20

10

30

不喜爱打篮球

5

15

20

总计

25 25 50 50×20×15－5×102(2)因为k＝≈8.333>6.635，所以，有99%的把握认为25×25×30×20喜爱打篮球与性别有关.

1．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(

) A.^y＝0.4x＋2.3

C.^y＝－2x＋9.5

B.^y＝2x－2.4 D.^y＝－0.3x＋4.4 【解析】

因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B，故选A. 【答案】

A 2．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5

8

户家庭，得到如下统计数据表：

收入x(万元)

支出y(万元)

8.2

6.2

8.6

7.5

10.0

8.0

11.3

8.5

11.9 9.8 ^x＋a^，^＝0.76，^＝y－b^x.据此估计，根据上表可得回归直线方程^y＝b其中ba该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(

) A．11.4万元

C．12.0万元

【解析】

由题意知，x＝y＝B．11.8万元

D．12.2万元

8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9＝10，

56.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8＝8，

5^＝8－0.76×10＝0.4，

∴a∴当x＝15时，^y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．

【答案】

B 3．根据如下样本数据

x y 3

4.0

4

2.5

5

－0.5

6

0.5

7

－2.0

8 －3.0 得到的回归方程为^y＝bx＋a，则(

) A．a＞0，b＞0

C．a＜0，b＞0

【解析】

作出散点图如下：

B．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＜0

观察图象可知，回归直线^y＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，^y＝a＞0.故a＞0，b＜0. 【答案】

B

9

4．下图3-1是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．

年份代码t

注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014. 图3-1 (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据：∑i＝

1yi＝9.32，∑i＝

1tiyi＝40.17，≈2.646. 参考公式：相关系数r＝∑i＝

1

ti－tyi－ynnn77∑i＝

1

yi－y2＝0.55，77∑i＝

1

ti－t2∑i＝

1

yi－y2n^＋b^t，回归方程^y＝a^＝中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b∑i＝

1

ti－tyi－y^＝－^t. ，ay－bn∑i＝

1

ti－t2【解】

(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得

t＝4，∑i＝

1

(ti－t)＝28，7772∑i＝

1

yi－y2＝0.55，

77∑i＝

1

(ti－t)(yi－y)＝∑i＝

1tiyi－t∑i＝

1yi＝40.17－4×9.32＝2.89，

所以r≈2.89≈0.99. 0.55×2×2.646因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．

9.32(2)由y＝7≈1.331及(1)得

10

^＝b∑i＝

1

ti－tyi－y2.89＝28≈0.103. 72∑

t－ti＝1i7^＝y－b^t≈1.331－0.103×4≈0.92. a所以y关于t的回归方程为^y＝0.92＋0.10t. 将2016年对应的t＝9代入回归方程得^y＝0.92＋0.10×9＝1.82.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．

11