1.3 二项式定理（通用）教学创新设计

教学设计

一、教学目标：

知识与技能

1．了解杨辉三角的由来，用二项式定理得出二项式系数的一些性质；

2．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题. 过程与方法

1．熟知二项式系数的对称性、“一肩扛两数”、单调性与最大项及所有二项式系数之和等结论；

2．熟练运用赋值法求一些代数式的值．

情感、态度与价值观

1．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．

2．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我国悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主义情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．

二、学情分析

知识结构：学生已学习了两个计数原理和二项式定理，再让学生课前探究“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，并从函数的角度研究二项式系数的性质。

心理特征：高二的学生已经具有了一定的分析、探究问题的能力，恰时恰点的问题引导就能建立知识间的相互联系，解决相关问题。

三、重点难点

重点：了解“杨辉三角”的结构与规律，掌握二项式系数的一些性质，掌握赋值法．

难点：二项式系数性质的得到和证明，利用二项式系数的性质解决有关问题

四、教学过程 活动1 【复习回顾】 1、二项式(ab)的展开式：__________________________________________________；

通项公式:_____________________________ ；

二项式系数：________________________________；

2、组合数的两个性质：（1）___________________；（2）___________________________；

设计意图：温故知新，为本节课的内容做知识准备。

活动2 【问题探究一】杨辉三角的来历及规律 问题1：把展开式(ab)

的二项式系数用组合数表示出来，学生写出相应的数字，投影学生写出的表，得到杨辉三角。

nn(ab)1

…………………………………………………1

1 (ab)2…………………………………………………1

2

1 (ab)3………………………………………………1

3

3

1 (ab)4

……………………………………………1

4

6

4

1 (ab)5…………………………………………1

5

10 10 5

1

(ab)6………………………………………1

6

15 20 15 6

1 2、问题3：你能介绍杨辉三角的来历吗？

设计意图：激发学生的爱国意识。

问题3、借助杨辉三角你能发现什么规律吗？结合多媒体课件给出的问题提示，学生思考后，给出结论。

问题提示：1、各展开式的二项式系数有没有明显规律？

2、上下两行的系数有什么? 3、根据前面的两条结论,你能写出下面的二项式系数吗? 学生思考,归纳杨辉三角蕴含规律：

1、对称性：

2、增减性与最大值：

3“一肩扛两数”：

设计意图:寻找二项式系数与杨辉三角的关系，从而让学生理解二项式系数具有杨辉三角同行中的规律. 活动3【知识对接测查】

6 1.若

(ab)n

的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，则n=_______. 85 (1x)2.在的展开式中，二项式系数最大的项是第___项； C84(x)470x4二项式系数最大的项是_____________________. 活动4 【问题探究2】刚刚我们从基本的横行，上下行观察，是否还可以从不同角度探究杨辉三角包含的规律呢？

苏轼游玩庐山后写了一首诗《题西林壁》：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同；笔试庐山真面目，只缘身在此山中。”我得到启示:研究事物可以横看,侧看,远观,近看,数字是否还可以运算？

学生小组讨论。

小组展示讨论结果，发现：

侧着看:每行成n阶等差数列（教师给出n解等差数列的概念）。

每行第r个数相加等于下一行第r+1个数。

【继续探究】能否根据发现,总结一般的规律并给出证明。

师生共同写出组合数的一般形式

/rrrrr1 3 . “一肩顶串数

”：

CrCrCLCC1r2nn+10123n 4.“二项式系数的和”: CnCnCnCnLCn2n

设计意图：引导学生利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，并给出证明这一过程不仅有利于培养学生拓展学生的视野，培养学生观察、分析、解决问题的思维能力、理性精神和实践能力，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识。

活动5【

问题探究3】各项二项式系数的和

n1n1nrrn问题1：在展开式 ，

(a+b)nC0bCrbCnnaCnananb0123n如何出现 CnCnCnCnLCn2n？ 学生答：(赋值法) a=1,b=1

问题2：试证：在

(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

学生答：令a=1,b=-1 师问：你怎么想到的？

设计意图：让学生明确问题的本质，运用所学知识解决未知的问题。了解知识间的联系。

例2、已知(12x)7a0a1xa2x2La6x6a7x7

求：（1）a0 （2）a0a1a2La7

（3）a1a3a5a7

（4）a0a2a4a6

设计意图：熟练应用赋值法，体会方程思想。

活动6【小结】

本节课你都学到了哪些知识？

1.二项式系数的性质: ①对称性：

②单调性与最大值：

③“一肩扛两数”及推广“一肩顶串数”：

④二项式系数的和：

2. 数学方法

：递推法

赋值法

3．数学思想：特殊到一般，函数思想

设计意图：师生共同总结本节所学知识，明确本节重点内容。

活动7【当堂检测】

活动8【布置作业】

(3x1)8展开式中系数的最大项? 1．如何求 2.研究性学习：查阅资料，探索与发现杨辉三角中的奥秘。