2.2.2 直线方程的几种形式第二课时教案

第二章

直线与方程

第2.2.2节

直线的点斜式方程

【本节教材分析】

（一）三维目标

1．知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2．过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别.3．情态与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.（二）教学重点

引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程. （三）教学难点

在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围

【新课导入设计】

方程y=kx＋b与直线l之间存在着什么样的关系？

让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系，即

（1）直线l上任意一点P(x1,y1)的坐标是方程y=kx＋b的解. (2)(x1,y1)是方程y=kx+b的解点P(x1,y1)在直线l上.

这样好像直线能用方程表示，这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程(宣布课题) 【教学过程】

提出问题

①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？

②已知直线l的斜率k且l经过点P1(x1,y1)，如何求直线l的方程? ③方程导出的条件是什么？

④若直线的斜率k不存在，则直线方程怎样表示？

⑤k=yy1与y-y1=k(x-x1)表示同一直线吗？

xx1⑥已知直线l的斜率k且l经过点（０，ｂ），如何求直线l的方程？

讨论结果:①确定一条直线需要两个条件: a.确定一条直线只需知道k、b即可；

b.确定一条直线只需知道直线l上两个不同的已知点. ②设P(x，y)为l上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=－x1). ③方程导出的条件是直线l的斜率k存在. ④a.x=0；b.x=x1. ⑤启发学生回答:方程k=yy1,化简,得y－y1=k(xxx1yy1表示的直线l缺少一个点P1(x1,y1),而方程y－y1=k(x－x1)表xx1示的直线l才是整条直线. ⑥y=kx+b. 例题讲解

例1

一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.

图1 解:这条直线经过点P1(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0, 这就是所求的直线方程,图形如图1所示. 点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力. 变式训练

求直线y=-3(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.

解：设直线y=-3(x-2)的倾斜角为α，则tanα=-3，

又∵α∈［0°,180°)，

∴α=120°.

∴所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°.∴直线方程为x=2. 例2

如果设两条直线l1和l2的方程分别是l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2，试讨论: （1）当l1∥l2时，两条直线在y轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？

（2）l1⊥l2的条件是什么？

活动:学生思考：如果α1=α2，则tanα1=tanα2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果l1∥l2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果b1≠b2且k1=k2，则l1与l2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明α1=α2得出tanα1=tanα2的依据. 解:（1）当直线l1与l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时，直线l1∥l2k1=k2且b1≠b2. (2)l1⊥l2k1k2=-1. 变式训练

判断下列直线的位置关系: 11x+3,l2:y=x-2; 2253(2)l1:y=x,l2:y=-x. 35(1)l1:y=答案：(1)平行；(2)垂直. 例3 直线l过定点A(－2,3)，且与两坐标轴围成三角形的面积为4，求直线l的方程．

【分析】

用待定系数法求直线方程．

【解】

显然，l不垂直于x轴，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，

3令x＝0，得y＝2k＋3；令y＝0，得x＝－－2，

k1由题意得2k＋3－－k＝4，

19解得k1＝－，k2＝－，

2219故所求直线方程为y－3＝－(x＋2)，或y－3＝－(x＋2)．

22即x＋2y－4＝0，或9x＋2y＋12＝0. 【规律方法】

(1)在点斜式或斜截式方程中，都有斜率k，我们常把k作为未知数引入待定．

(2)在截距上加绝对值后才能表示线段长度．

变式3 光线从A(－3,4)点射出，射到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D(－1,6)，求光线BC所在直线的方程．

解：如右图，由镜面反射的对称原理得出D′的坐标即可．点A(－3,4)关于x轴的对称点A′在光线BC的反向延长线上，点D(－1,6)关于y轴的对称点D′在光线BC的延长线上，所以点A′，D′在直线BC上．由对称性可知，A′(－3，－4)，D′(1,6)，所以光线BC所在直6－－线的斜率kBC＝1－－5＝.又因为BC所在直线经过点D′(1,6)，所以光线BC所在直线25的方程为y－6＝(x－1)，即5x－2y＋7＝0. 2

课堂小结

通过本节学习，要求大家：

1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例. 2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.

当堂检测

1.经过点2,2倾斜角是30的直线的方程是

（A）y2

（C）y23(x2) 3

（B）y23(x2)

3(x2)

3

（D）y23(x2) 2.已知直线方程y33(x4)，则这条直线经过的已知点，倾斜角分别是

（A）（4，3）；π/ 3 （B）（－3，－4）；π/ 6 （C）（4，3）；π/ 6 （D）（－4，－3）；π/ 3 3.直线方程可表示成点斜式方程的条件是

（A）直线的斜率存在 （B）直线的斜率不存在

（C）直线不过原点 （D）不同于上述答案

4直线l经过点P0(－2, 3)，且倾斜角＝45º，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.

5.已知直线的点斜式方程是y－2=x－1，那么直线的斜率是_____，倾斜角是_____， 此直线必过定点______；

6已知直线l的方程为yx1,求过点(2,3)且垂直于l的直线方程. 12参考答案：

1.C 2.A 3.A 4.y-3=x+2 5. 1 (1,2) 6. y-3=2x-4