信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响优质课教学设计

2.4 正态分布

年级：高二 上/下册：下学期数学选修2-3 版本：人教A版2003课标版

主讲教师：全永如 工作单位：广东广雅中学

教学目标:

1．知识与技能

(1) 正确理解正态曲线的来源和意义. (2)

正确理解正态分布的定义. (3)

熟悉正态曲线的性质.

(4)灵活使用正态曲线的性质求在某个区间的概率

.

2．过程与方法

(1)能用正态分布和正态曲线研究有关随机变量分布的规律. (2)引导学生从函数的角度来探究正态曲线的性质，使学生不断体会“数形结合”的数学思想. 3．情感、态度与价值观

通过正态曲线的性质的探索，引导学生领悟函数图象变换的方法，培养学生的数形结合的数学思想，概括分析能力和应用意识. 学情分析：学生已经学习了两角和的正弦、余弦公式，为本节课奠定了理论基础. 教学重点: 1．正态曲线的性质.

2．正态曲线的性质求在某个区间的概率.

教学难点：正态曲线的性质求在某个区间的概率.

教学用具：计算机，白板，几何画板等. 教学方法：1.启发、引导、讨论. 2.以学生做小老师讲解的形式. 教学过程：

一.引入

离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述， 而连续型随机变量的概率分布规律如何来表示呢？

你见过高尔顿钉板吗？ 下图为一块高尔顿钉板示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但互相错开额圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道让小球从高尔顿板上方的通道层层落下，最后掉入高尔顿板下方的某一个球槽内. 1

为了更好地考察随着试验次数的增加，落入各个球槽内的小球的分布情况，我们画出频率分布直方图——以球槽的编号为横坐标，

以小球落入各个球槽内的“频率/组距”为纵坐标建立坐标系。

高尔顿钉板试验

下面让我们一起来观看高尔顿钉板试验演示吧！——观看动画演示实验。

1.当样本容量增多，组数增多，组距减小时, 频率分布直方图越来越接近________________。——观看flash演示总体密度曲线的生成。

2.总体在区间(a,b)内取值的概率是__________________。 高尔顿钉板试验频率分布直方图

二.正态曲线

像这种具有“中间高，两头低”的特征的总体密度曲线,称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.正态曲线对应的函数为：

(x)其中实数μ、σ(σ>0)是参数. 12e(x)222,xR

2

[思考]根据定积分的几何意义，如何求X在

(a,b]的概率？

三. 正态分布

一般地,如果对于任何实数ab,随机变量X满足

1e）dx,aa2

2则称X服从正态分布(nomaldistribution),记作X~N(,).

PaXb,xdx=（bb(x)222

注意：

1.是总体均值,反映随机变量取值的平均水平的特征数.

是总体标准差,衡量随机变量总体波动大小的特征数.

2. 正态分布是自然界中最常见的分布，在概率和统计中占有重要地位很多随机变量都服从或近似地服从正态分布例：.在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；

在测量中，长度测量的误差；

在生物学中，同年龄人群的身高、体重；

在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的水位. 一般地,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果

之和,它就服从或近似服从正态分布.早在1733年,法国数学家棣莫弗就用n!的近似公式得到了正态分布之后.,德国数学家

高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它,并研究了它的性质,因此,人们也称正态分

布为高斯分布.

3.标准正态分布

当μ= 0，σ=1时,得到标准正态总体密度函数表示式

1f(x)e2

标准正态分布:X~_____.

x22，xR

四. 正态曲线的性质——flash演示参数μ、σ对正态曲线的影响. 2（1）曲线在x轴的_____，与x轴不相交(以x轴为渐近线) （2）曲线是单峰的,它关于直线_____对称.(对称性,单调性) （3）曲线在x=μ处达到峰值(只有一个最高点)______. 3

(x)1e(x)222,xR

（4）曲线与x轴之间的面积为____. [师生活动]老师设置提问，让学生观察思考，下结论.

[思考]参数μ、σ对正态曲线有什么影响？（课本P73）5当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移；称为位置参数. (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ称为形状参数. σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；

σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. [师生活动]老师展示几何画板，设置提问，让学生观察思考，下结论.

五.特殊区间的概率 P(X)0.6827

P(2X2)0.9545

正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，在此区间以外取值的概率只有0.0026.像这种概率很小（一般不超过5 ％

）的情况发生称为小概率事件，我们认为这种情况几乎不可能发生。 3σ原则——实际生活中，服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．

六.典型例题

题型一.正态曲线及性质 [例1] (成才P119例1)如图是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布概率密度函数的解析式,并求出总体随机变量的数学期望和方差.

P(3X3)0.99734

[师生活动]老师引导，师生共同完成.

[练习1]下列函数是正态密度函数的是（ ）

A.f(x)B.f(x)1e22e2(x)222,,(0)都是实数x222(x1)1C.f(x)e422D.f(x)

[师生活动]学生代表到黑板上充当小老师进行讲解，老师做点评.

题型二.利用正态分布的对称性求概率 [例2]

已知ξ～N(4,

σ2)．则 (1)若P(ξ>8)＝0.4，则P(0<ξ<8)=____, (2)若σ=1，则P(ξ≤2) =______. 1e2x22参考数据：若X~(,2),则P(X)0.68,P(2X2)0.95,

P(3X3)0.99.[师生活动]老师引导，师生共同完成.

【练习2】

1（1）若ξ～N(1,

4)，η＝6ξ，则D(η)等于(

) 3A．1

B．2

C．6

D．9 22（2）(白皮[38]B1)(2015湖北理4)设X～N(μ1，σ1)，Y～N(μ2，σ2)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是(

) A．P(Y≥μ2) ≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2) ≤P(X≤σ1)

C．对任意正数t，P(X≤t) ≥P(Y≤t) 5

D．对任意正数t，P(X≥t) ≥P(Y≥t) [师生活动]学生代表到黑板上充当小老师进行讲解，老师做点评.

七.小结：你能总结一下这节课学了什么内容吗？

(x)212一．正态曲线

(x)e2,xR

2

二.正态分布

三.

特殊区间的概率

P(axb),(x)dxab

X~N(,2).X~N(0,1).

P(X)0.6827P(2X2)0.9545

P(3X3)0.9973

八. 布置作业：

《高中新课程学习指导》作业与测评（38）

A级—2,3,4,6,8,9

B级—2，6

C级

九.板书设计

§2.4

正态分布

一．正态曲线

例2 (x)12e(x)222,xR

练习2 （学生2）

2二.正态分布

X~N(,).

X~N(0,1).

P(axb)ba,(x)dx

例1

练习1 （学生1）

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