2.1.2 演绎推理教案2

§2.1.2

演绎推理教学设计

一、学习目标:

1、什么是演绎推理？

2、什么是三段论？

3、合情推理与演绎推理有哪些区别？

4、能举出一些在生活和学习中有关演绎推理的例子。

二、重点难点: 重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理. 难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式. 三、上节回顾: 问：合情推理的含义与特点是什么？

归纳推理：由特殊到一般合情推理；结论不一定正确. 类比推理：由特殊到特殊四、学习探究

情景一：观察下列推理有什么特点？（大前提、小前提、结论在讲解情景二后再写出）

1.所有的金属都能导电, ⋯⋯⋯⋯

大前提

因为铜是金属, ⋯⋯⋯⋯小前提

所以铜能够导电. ⋯⋯⋯⋯结论

2. 一切奇数都不能被2整除， ⋯⋯⋯⋯

大前提

因为(2100+1)是奇数, ⋯⋯⋯⋯小前提

100所以(2+1) 不能被2整除. ⋯⋯⋯⋯结论

3. 三角函数都是周期函数，⋯⋯⋯⋯

大前提

因为tan是三角函数，

⋯⋯⋯⋯小前提

所以tan是周期函数. ⋯⋯⋯⋯结论

4.全等的三角形面积相等,

⋯⋯⋯⋯

大前提

如果∆ABC与∆A1B1C1全等,

⋯⋯⋯⋯小前提

那么∆ABC与∆A1B1C1面积相等. ⋯⋯⋯⋯结论

新知：演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理. 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.

情景二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？

新知：“三段论”是演绎推理的一般模式；

大前提——

M……P（M是P)

；（已知的一般原理；）

……小前提——

SM (S是M)

；（所研究的特殊对象；）

……结论——

SP (S是P)

.（据一般原理，对特殊对象做出的判断．）

试试：请把情景一中的演绎推理（1）至（4）写成“三段论”的形式.

MS

新知：用集合知识说明“三段论”：

若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S 中所有元素也都具有性质P。

P

探究一：演绎推理的特点: 演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，因此演绎推理是由一般到特殊的推理；

在演绎推理中，前提与结论之间存在着必然的联系，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。因此演绎推理是数学中严格的证明工具。

探究二：合情推理与演绎推理的区别

归纳推理

区别

推理

形式

推理

结论

联系

由部分到整体、个别到一般的推理。

合情推理

类比推理

由特殊到特殊的推理。

由一般到特殊的推理。

演绎推理

结论不一定正确，有待进一步证明。

在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。

合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎

推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。

五、典型例题

例1

已知lg2m，计算lg0.8

解：(1) lgannlga(a0)

，⋯⋯⋯⋯

大前提

lg8lg23，⋯⋯⋯⋯小前提

所以lg82lg23m

⋯⋯⋯⋯

(2) lg

结论

algalgb(a0,b0)⋯⋯⋯⋯

大前提

b8

lg0.8lg⋯⋯⋯⋯小前提

10

所以lg0.8lg8lg103m1.⋯⋯⋯⋯结论

例2 下面说法正确的有（

C

）

（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；

（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；

（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；

（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

思考1：下列演绎推理的结论一定正确吗？

11因为指数函数ya是增函数，而y是指数函数，所以y

是增函数。

22xxx错因：大前提是错误的，所以结论是错误的。

思考2：如图：在ABC中，ACBC，CD是AB

边上的高，求证ACDBCD. ,ACB，C所以ADBD证明：在ABC中，CDAB，于是ACDBCD.指出上面证明过程中的错误.（课本P33#3）（错因：偷换概念）

CADB

例3 证明函数f(x)x22x在,1上是增函数.

（课本P32例7）

证明：大前提：增函数的定义；

2f(x1)f(x2)(x122x1)(x22x2)(x2x1)(x2x12).

因为x1x2,所以x2x10;因为x1,x21,所以x2x120.因此,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2).小前提：

所以f(x)x22x在(,1)满足增函数定义，于是，根据增函数的定义可知，结论：

函数f(x)x22x在,1上是增函数. 另法：大前提：在某个区间（a,b）内若f'(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；

f'(x)2x22(x1),又因为x(,1),即x1,所以x10,从而2(x1)0,即f'(x)0,小前提：

所以f(x)x22x在(,1)有f'(x)0.由函数的单调性与其导数的关系知：结论：

函数f(x)x22x在,1上是增函数.

小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略. 在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.

三、课堂练习：

练1. 用三段论证明：通项公式为ancqn(cq0)的数列{an}是等比数列. 如果数列

{an}中nan1q（q

是常数，q≠0）,

则

{an}是等比数列。

anan1cqn1在ancq中,q (q0),

nancq所以通项公式

ancq(cq0)为的数列

是等比数列。

练2. 在锐角∆ABC中，AD⊥BC，

BE⊥AC，D、E是垂足，用演绎推理“三段论”格式证AB的中点M到D、E的距离相等.（课本P31例6）

C证明：（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,

（大前提）

E在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900（小前提）

D所以△ABD是直角三角形（结论）

同理△ABE是直角三角形

B（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,

（大前提）

AMn

M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线（小前提）

1所以

DM=AB（结论）

21同理

EM=AB 2所以

DM = EM

四、学习小结

归纳推理：由特殊到一般1. 合情推理；结论不一定正确. 类比推理：由特殊到特殊2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.

概念一般形式——三段论（重点）演绎推理

证明问题（难点）合情推理体育演绎推理的联系与区别（重点）

五、课后作业

课时作业五