探究与发现 子集的个数有多少优秀教案

10.2

探究与发现：子集个数有多少

●课时安排

3课时

●从容说课

(1)本小节的内容是排列、排列数、全排列的概念，排列数公式. (2)本小节的教学要求：理解排列的概念；掌握排列数的运算公式；能够运用排列数公式解决一些简单的排列应用问题. (3)本小节在教材中的地位：本小节内容处于一个承上启下的地位.它既在推导排列数公式的过程中使分步计数原理获得了重要应用，又使排列数公式成为推导组合数公式的主要依据. (4)本小节重难点：本小节的重点是排列的意义及排列数公式;本小节的难点是排列数公式的正确应用及两个基本原理在排列问题中的应用. (5)对本小节重难点的处理：启发学生在分析问题时抓住问题的本质，能够区分有无顺序，与排列的意义产生联系，转化为排列的排列数运算问题；要注重基本原理在排列问题中的应用. (6)教学中应注意的问题：在排列数公式的推导过程中应注重从特殊到一般归纳思想的应用；在例题的安排上注意由浅及深设置难度梯度；要求学生在解答排列问题的开始阶段，应写出解法的简要说明. ●课题

10.2.1

排列（一）

●教学目标

（一）教学知识点

1.基本概念：元素、排列、排列数、全排列、阶乘. 2.基本公式：排列数公式. （二）能力训练要求

1.理解排列的意义. 2.熟悉阶乘运算. 3.掌握排列数的计算公式. 4.注意体会由特殊到一般的研究问题的方法. 5.掌握运用科学计算器进行阶乘运算. 6.能够应用排列数公式解决一些简单的问题. （三）德育渗透目标

在排列的概念理解上，在排列数公式的推导过程中，要求学生学会透过现象抓本质，通过对事物、现象本质的进一步分析，得出一般的规律. ●教学重点

排列数公式. ●教学难点

排列数公式的推导. ●教学方法

自学辅导和启发式

对于本小节所涉及的基本概念，如元素、排列、排列数、全排列、阶乘等，可以让学生通过自学完成；

在排列数公式的推导过程中，启发学生认清排列的本质，引导学生掌握由特殊到一般的研究方法. ●教具准备

投影片. 第一张：问题一及图示（记作10.2.1 A）

第二张：问题二及图示（记作10.2.1 B）

第三张：排列数推导过程（记作10.2.1 C）

第四张：本节例题（记作10.2.1 D）

●教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］上两节课，我们一起学习了两个基本原理及基本原理的简单应用，这一节，我们将继续应用基本原理研究排列问题. Ⅱ.讲授新课

［师］我们先看下面的问题.（给出投影片10.2.1 A）

问题1：某学校计划在元旦安排一场师生联欢会，需要从甲、乙、丙三名候选人选2名作主持人，其中1名作正式主持人，一名作候补主持人，有多少种不同的方法？

［师］大家可以结合实际情况，考虑一下这个问题应当如何求解？

［生］我认为，这个问题，就是从甲、乙、丙3名同学中每次选出2名，让正式主持人站在前面，候补主持人站在后面，不同的顺序排列，也就对应不同的选法. ［生］解决上述问题，可以应用分步计数原理进行，可分两步：第一步：确定正式主持人，从3人中任选1人，有3种不同选法；第二步，确定候补主持人，从余下的2人中选取，有2种不同的方法. 根据分步计数原理，在3名同学中选2名，按照参加正式主持人在前，候补主持人在后的不同顺序，排列方法有3×2=6种. ［师］这位同学回答得非常正确，而且应用了我们刚刚学过的分步计数原理.根据这位同学的结论，我们还可以用图示给出.（给出投影片10.2.1 A）

正式主持人

候补主持人

相应排法

甲

甲、乙乙

甲、丙丙乙、甲甲

丙丙、甲丙、甲甲

丙、乙乙乙

丙

［师］我们把上面问题中被取的对象叫做元素.于是，所提出问题就是从3个不同的元素a、b、c中任取2个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法.所有不同排列为ab,ac,ba,bc,ca,cb,所有排列的种数为3×2=6. 如果我们把上述问题再推广到更为一般的情形，就得到排列及排列数的概念. 1.排列（板书）

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素取出m个元素的排列. 2.排列数（板书）

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示.

［师］对于上述概念，大家思考这样一个问题：若两排列元素完全相同，是否是同一排列？同一排列又有何特点? ［生］若两排列元素完全相同，则不一定是同一排列；同一排列有两个特点：一是元素完全相同，二是排列顺序相同. ［师］下面大家通过自学来认识排列的特点，从而体会刚才这位同学的正确回答,而对于排列的认识，关键就是抓住顺序. 好，下面大家接着通过自学来熟悉排列数公式的推导，并注意以下两点：一是掌握从特殊到一般的研究方法；二是体会基本原理在推导中的应用. 3.排列数公式（板书）

Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1) (n,m∈N*,并且m≤n). 4.全排列（板书）

n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列. 阶乘：

正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示. 5.全排列数公式（板书）

Am（n-2)·…·3·2·1=n!. n=n·(n-1)·［师］下面，我们通过例题来熟悉排列数公式. ［例1］计算：

34（1）A16；（2）A6（3）A6. 6；3解：（1）A16=16×15×14=3360; (2)A66=6!=720; 4(3)A6=6×5×４×３=360. ［师］针对上述运算过程，我们说明以下几点：

（1）排列数公式还可写成Amn=n!; (nm)!(2)为了使上面公式在m=n时也能成立，我们规定0!=1; （3）可利用科学计算器的阶乘运算功能，简化排列数的计算.

［例2］求下列各式中的n值：

3（1）A42n1=140An; nn1(2)3A8=4A9. 解：（1）由排列数公式得

(2n+1)·(2n)·(2n-1)·(2n-2)=140·n(n-1)(n-2), 整理得4n2-35n+69=0, ∴(4n-23)·(n-3)=0. ∴n=3或n=23

(舍去）. 4∴n=3. （2）由排列数公式得

38!49!=, (8n)!(10n)!化简得

n2-19n+78=0, 解得n=6或n=13. ∵n≤8,∴n=6. Ⅲ.课堂练习

课本P90练习

1.（1）ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc; (2)ab,ac,ad,ae,ba,bc,bd,be,ca,cb,cd,ce,da,db,dc,de,ea,eb,ec,ed. 42.(1)A15=15×１４×１３×１２=32760; (2)A77=7!=5040; 42(3)A8-2A8=8×７×６×５-2×８×７=1568; 78A125A12(4)7==5. 7A12A125.（1）证明：左边=n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1)，

右边=n·(n-1)(n-2)·…·［(n-1)-(m-1)+1］=n·(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)=左边. m1∴Amn=nAn1. 767777(2)左边=A88-8A7+7A6=8A7-8A7+A7=A7=右边. Ⅳ.课时小结

［师］通过本节学习，要求大家在理解排列的意义的基础上，掌握排列数的运算，并了解科学计算器的阶乘运算功能，为进一步学习排列的应用打好基础. Ⅴ.课后作业

（一）课本P91习题10.2

1、2、3、4.

（二）1.预习课本P88～P89例２～例4. 2.预习提纲

（1）如何确定排列问题的实质？

（2）排列知识在实际中有哪些应用？

（3）基本原理在解题中有何体现？

●

板书设计

10.2.1

排列（一）

1.排列

一般地，从n个不同元素中取出m个元素按照一定顺序排成一列. 2.排列数

从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数. 3.排列数公式

Amn=n·(n-1)(n-2)·…·(n-m+1). 4.全排列

n个不同元素全部取出的一个排列. 5.阶乘

正整数1到n的连乘积，叫n的阶乘. 6.全排列数公式

Amn=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1=n! 例1

例2 解答过程

解答过程