复习参考题第二课时教案

二项式定理

【学习目标】

1.

能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式

【重点难点】

重点：1、二项式定理展开式；

2、二项式展开式中指定项和指定项系数问题

【课前自学】

一、知识回顾

(1)二项式定理：(a＋b)n＝

(2)通项公式：Tr＋1＝

它表示第

项；

(3)二项式系数之和：

二、课前练手

1.(人教A版选修2－3P37A5改编)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(

) A.30

B.20

C.15

D.10 r23解析

因为(1＋x)6的展开式的第(r＋1)项为Tr＋1＝Crx(1＋x)6的展开式中含x3的项为C6x＝15x3，6x，所以系数为15.

答案

C 1x2.在2－3的展开式中，各项的二项式系数和为256，则展开式中常数项是________. x3.(2015·陕西卷)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n等于(

)

A.7

B.6

C.5

D.4 12nn解析

(x＋1)n＝(1＋x)n＝1＋Cnx＋C2nx＋…＋Cnn，

n依题意，得C2n＝15，解得n＝6(n＝－5舍去).

答案

B 12233nn123n4.已知C0n＋2Cn＋2Cn＋2Cn＋…＋2Cn＝729，则Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn等于(

) A.63

B.64

C.31

D.32 12233nnnnn6解析

逆用二项式定理得C0n＋2Cn＋2Cn＋2Cn＋…＋2Cn＝(1＋2)＝3＝729，即3＝3，所以n23n60＝6，所以C1n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2－Cn＝64－1＝63.故选A. 答案

A 【课堂学习】

考点一

求展开式中的特定项或特定项的系数

31n的展开式中，第6项为常数项. x－【例1】

已知在32x1

(1)求n；

(2)求含x2的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项. n－k解

(1)通项公式为3Tk＋1＝Cknx1kn－2k1k－kk－2x3＝Cn－2·x3. n－2×5＝0，即n＝10. 3因为第6项为常数项，所以k＝5时，(2)令10－2k3＝2，得k＝2，

2145故含x2的项的系数是C210－2＝. 410－2k3∈Z，(3)根据通项公式，由题意

0≤k≤10，k∈N，10－2k3令3＝r (r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－2r，

∵k∈N，∴r应为偶数.∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，

456345∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为4x2，8，256x－2.

考点二

二项式系数的和与各项的系数和问题

【例2】

在(2x－3y)10的展开式中，求：

(1)二项式系数的和；

(2)各项系数的和；

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

(4)奇数项系数和与偶数项系数和；

(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 解

设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*) 各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10. 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和. 01010(1)二项式系数的和为C10＋C110＋…＋C10＝2. (2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. 2

0109(3)奇数项的二项式系数和为C10＋C210＋…＋C10＝2，

399偶数项的二项式系数和为C110＋C10＋…＋C10＝2. (4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①

令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，

得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②

①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，

1＋510∴奇数项系数和为2；

①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，

1－510∴偶数项系数和为. 21－510(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝2；

1＋510x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝2.

考点三

二项式定理的应用

【例3】

(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除；

(2)用二项式定理证明2n>2n＋1(n≥3，n∈N*). 5n2－1证明

(1)∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝

2－1＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 －1n1n－1n＝C0＋…＋Cnn×31＋Cn×31n×31＋Cn－1 －1n－1n－2＝31(C0＋C1＋…＋Cnn×31n×31n)，

－1n－11显然C0＋Cn×31n－2＋…＋Cnn×31n为整数，∴原式能被31整除. (2)当n≥3，n∈N*. 1n－1n01n－1n2n＝(1＋1)n＝C0n＋Cn＋…＋Cn＋Cn≥Cn＋Cn＋Cn＋Cn＝2n＋2>2n＋1，

∴不等式成立. 二、对应练习

16x＋的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值等于【训练1】

(1)(2016·山西四校联考)若xx(

) A.3

B.4

C.5

D.6 (2)(2015·全国Ⅰ卷)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(

) 3

n

A.10

B.20

C.30

15r1rr6n－＝Cnx2，

xxD.60 解析

(1)二项展开式的通项6n－rTr＋1＝Crn(x)15r5若Tr＋1是常数项，则6n－2＝0，即n＝4r，

又n∈N*，故n的最小值为5.

(2)法一

(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，

232含y2的项为T3＝C25(x＋x)·y.

415其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x·x＝C3x.

1所以x5y2的系数为C25C3＝30.

法二

(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.

221∴x5y2可从其中5个因式中选两个因式取y，两个x2，一个取x.因此x5y2的系数为C5C3C1＝30.

答案

(1)C

(2)C

【训练2】

(1)(2016·青岛质检)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________. a1a2a2 016(2)(2016·郑州模拟)若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016x2 016(x∈R)，则2＋22＋…＋22 016的值为________. 解析

(1)令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，

36＋1令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝2.

36＋1令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝2－1＝364.

(2)令x＝0，得a0＝(1－0)2 016＝1.

1a1a2a2 016令x＝2，则a0＋2＋22＋…＋22 016＝0，

a1a2a2 016∴＋2＋…＋2 016＝－1.

222答案

(1)364

(2)－1

【训练3】求S＝C27＋C27＋…＋C27除以9的余数. 22727990918解

S＝C127＋C27＋…＋C27＝2－1＝8－1＝(9－1)－1＝C9×9－C9×9＋…＋

908178C89×9－C9－1＝9(C9×9－C9×9＋…＋C9)－2. 8178∵C09×9－C9×9＋…＋C9是整数，∴S被9除的余数为7. 12274

【当堂小结】

nkk1.通项Tk＋1＝Ckb是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0，1，…，n. na－1n2.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C0n，Cn，…，Cn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关. 3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法. [易错防范] 1.区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正. 2.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念. 3.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.

【课后练习】

1.(2015·广东卷改编)在(x－1)4的展开式中，x的系数为(

) A.6

B.－6

C.4

D.－4 4－r2解析

Tr＋1＝Cr·(－1)r，令r＝2，则C24·(x)4(－1)＝6.

答案

A 3a52.(2015·湖南卷)已知x－的展开式中含x2的项的系数为30，则a＝(

) xA.3

B.－3

C.6

D.－6 5－r5a5rrrrrrr解析

x－的展开式通项Tr＋1＝C5x2(－1)a·x－2＝(－1)aC5x2－r，

x35311令2－r＝2，则r＝1，∴T2＝－aC5x2，∴－aC5＝30，∴a＝－6，故选D. 答案

D 3.(2016·江西八校联考)若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是(

) A.－2

B.－3

C.125

D.－131 解析

令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2，

7077又a0＝C0712＝1，a8＝C7(－2)＝－128，

所以a1＋a2＋…＋a7＝－2－1－(－128)＝125.

答案

C 5

1n4.(2016·河南八校三联)x＋2x的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________. 19解析

由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n＝9，∴x＋2x展开式的第四项为T4＝C39·(1321x)·2x＝2.

621答案

2

5.(2015·全国Ⅱ卷)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________. 解析

设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②

①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，

所以8(a＋1)＝32，解得a＝3. 答案

3 16.若(2＋x＋x2)1－x的展开式中的常数项为a，则a(3x2－1)dx＝________. 031331解析

∵1－x＝1－x＋x2－x3，

1∴(2＋x＋x2)1－x的展开式中的常数项为

a＝2×1＋1×(－3)＋1×3＝2.

a（3x2－1）dx＝（x3－x）2故0＝6.

033

答案

6

6