1.3 二项式定理（通用）教案教学设计

二项式定理

教学目标

理解二项式定理及推导方法，二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；

教学重点、难点：二项式定理的内容及归纳过程；发现各项及各项系数的规律。

二项式定理

由多项式乘法法则得(a+b)2的展开式：

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2；

从上述过程中可以发现，(a+b)n是n个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)相乘时有两个选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b选定后，才能得到展开式的一项，由分步乘法计数原理，可以得到这样的项的项数，然后合并同类项。

探索(a+b)4的展开式的形式。

4个括号中取a和取b的个数和为4，即每一项的形式是a4-kbk，

（1）k=0时，a4-kbk=a4，四个括号中全都取a，相当于取0个b，有C40项a4，即a4的系数为得：C40；

（2）k=1时，四个括号中有1个取b，剩下的3个取a，得：C41a3·C33b

（3）k=1时，四个括号中有2个取b，剩下的2个取a，得：C42a2·C22b2

（4）k=3时，四个括号中有3个取b，剩下的1个取a，得：C43a·C11b3

（5）k=4时，四个括号中全都取b，得：C44b4

(a+b)4= C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4

(a+b)n的展开式又是什么呢？

0n1n1knkknn猜想：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

证明：对（a+b）n分类，按b可以分n+1类，

⑴不取b：Cnan；

0⑵取1个b：Cnab；

⑶取2个b：Cn1an-2b2；

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1n-1

………………

(k+1)取k个b：Cnkan-kbk；

………………

(n+1)取n个b：Cnnbn；

然后将上述过程合起来，就得到二项展开式，

0n1n-1kn-kknn(a+b)n=Cna+Cnab+…+Cnab+…+Cnb(n∈N+) 这就是二项式定理。

r它有n+1项，各项的系数Cn(r0,1,rnrrn)叫二项式系数，Cnab叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项为展开式的第k+1项：

rnrrTr1Cnab．

1二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxrrCnxxn

你怎么记忆这个公式？

①项数:共n+1项,是关于a与b的n次齐次多项式；

②指数:a的指数从n逐项递减到0，是降幂排列；

b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。

例1 求(2x16161)的展开式． 解：(2x)3(2x1)6

xxx16152433221[(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)1]

666663x6012123．

xxx64x3192x2240x160

例2 （1）求(12x)7的展开式的第4项的系数；

1（2）求(x)9的展开式中x3的系数及二项式系数

x2012.03.30

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3解：(1+2x)7的展开式的第四项是T31C7(2x)3280x3，

∴(1+2x)7的展开式的第四项的系数是280．

11（2）∵(x)9的展开式的通项是Tr1C9rx9r()r(1)rC9rx92r，∴9-2r=3,r=3，

xx333∴x3的系数(1)3C984，x的二项式系数C984．

x39)的展开式常数项；

例3．⑴求(xa)12的展开式中的倒数第4项；⑵求(3x解：⑴(xa)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339T91C12xaC12xa220x3a9．

39rx9r3rr2r9⑵∵Tr1C()()C93x2，

3xr936∴当9r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C9332268；

2

x39)的展开式的中练习 求⑴(2a3b)6，⑵(3b2a)6的展开式中的第3项．⑶求(3x间两项

22解：⑴T21C6(2a)4(3b)22160a4b2，⑵T21C6(3b)4(2a)24860b4a2．

(2a3b)6，(3b2a)6的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同

x39)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

⑶(3x1594251093，T6C93x2378x3

xT5C34989x912

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“杨辉三角”

(ab)1…………………………………1

1 (ab)2………………………………1

2

1 (ab)3……………………………1

3

3

1 (ab)4…………………………1

4

6

4

1 (ab)5………………………1

5

10

10

5

1 (ab)6……………………1

6

15

20

15

6

1 这个表叫做二项式系数表，也称“杨辉三角”。

“杨辉三角”的特征：

⑴表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当n不大时，可以根据这个表来求二项式系数。

⑵设表中不为1的数Crn+1,那么它肩上的两个数分别为Cnn-1，Cnr，所以

Crn+1= Cnn-1+ Cnr。

⑶《详解九章算术》中的“杨辉三角”如右图。

二项式系数的性质

12n(ab)n展开式的二项式系数依次是

C0n,Cn,Cn,,Cn

从函数角度看，Crn可看成是以r为自变量的函数f(x)，其定义域

是0,1,2,,n，对于确定的n，还可以画出它的图象；例如，当n=6 时，其图象是7个孤立的点（如图）

mnm⑴对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵Cn）．直线rCnn2是图象的对称轴．

k⑵增减性与最大值．∵Cnn(n1)(n2)(nk1)k1nk1Cn，

k!k2012.03.30

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kk1∴Cn相对于Cn的增减情况由nk1nk1n11k决定，，

kk2当kn1时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中2间取得最大值；

n2nn12nn12n当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C⑶各二项式系数和：

1∵(1x)n1CnxrrCnx，C取得最大值．

012CnCnxn，令x1，则2nCnrCnn

Cn

例4 证明在(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

n1n1n22n证明：在展开式(ab)nC0bC2bCnnaCnananb中，

123令a=1,b=-1，得(11)nC0)nCnnCnCnCn(1n。

23213就是0(C0)(C1)

∴

C0nCnnCnnCnCnCn

即在(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数的和。

122kknn事实上，在(ab)n的展开式中，联想到(1x)nC0nCnxCnxCnxCnx

122kknn把它看作关于x的函数，即f(x)=(1x)nC0

nCnxCnxCnxCnx，那么f(-1)=0，由此很容易得到上述结论。

例5

已知(3x2n)的展开式中,第4项二项式系数是倒数第2项二项式系数的7倍

x求展开式中x的一次项。

n1解：依题意C37Cnn

整理得

(n1)(n2)67

∴n=8 设展开式中含x的项是第r+1项，则

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Tr1C8r(3x)8r((2)Cxrr88rr322r)x

∴

8rr1

解得r2

322故展开式中含x的项为第3项，即

T3(2)2C8x112x。

练习

已知(13x)n的展开式中的系数和比(x2n)的展开式中的二项式系数和大x240，求(x2n)的展开式中的第3项。

x24)的展开式中的第3项是x解：依题意有：4n2n240

得n4

于是(x2T3C2x(422)24

x

例6 已知(x124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，

⑴证明展开式中没有常数项；⑵求展开式中所有的有理项 11121Cn()2，即n29n80，∴n8(n1舍去）

解：由题意：2Cn22 ∴Tr1Cr8x8r163rrrr1rr8rC8(4)()C8x2x41rx4222x1r0r8

rZ①若Tr1是常数项，则163r0，即16-3r=0，

4∵rZ，这不可能，∴展开式中没有常数项；

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②若Tr1是有理项，当且仅当163r为整数，∴0r8,rZ，∴ r=0,4,8，

43512x，T9x

8256即

展开式中有三项有理项，分别是：T1x4，T5

例7 已知(x式的常数项

2n)的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14:3，求展开x2242依题意C4:C14:33C14Cnnnn

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10 105r2设第r+1项为常数项，又

Tr1C(x)r1010r2r(2)r(2)rC10xx

令

105r20r2，T21C10(2)2180.此所求常数项为180

2例8 求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数

(1x)[1(1x)10](x1)11(x1)解：(1x)(1x)=，

（1x）x1(1x)2107∴原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为C11

例9 求0.9986的近似值，使误差小于0.001．

01解：0.9986(10.002)6C6C6(0.002)16C6(0.002)6，

2展开式中第三项为C6

0.00220.00006，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，01∴0.9986(10.002)6C6C6(0.002)10.998，

一般地当a较小时(1a)n1na

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二项展开式中系数的最大与最小

例1

在二项式(x1)11的展开式中，求系数最小的项的系数。

解：因为在(x1)11的展开式中，各项的二项式系数与项的系数相等或互为相反数，又5665展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项C11x(1)5、第七项C11x(1)6，所以5系数最小的项的系数为C11462.

例2 已知(3xx2)2n的展开式的系数和比(3x-1)n的展开式的系数和大992,求1(2x)2n的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项. x解：由题意22n2n992,解得n=5. 115①(2x)10的展开式中第6项的二项式系数最大,即T6T51C10(2x)5()58064. xx1xrr②设第r+1项的系数的绝对值最大,则Tr1C10(2x)10r()r(1)rC10210rx102r

r10rr1rr1C10210r111r2rC102C102C10∴r10r,得,即

rr110r1r12(r1)10rC102C1022C10C10811 ∴r,∴r=3,故系数的绝对值最大的是第4项

。

33

例3 求(2x3y)28的展开式中系数最大的是第几项？

r28rrr129r3r1C2823C282解：设展开式中第r+1项的系数最大，则

r28rr

r127rr13C2823C282rr13(29r)2r223C282C2816r17即r

整理得

解得

r1552(r1)3(28r)2C283C28∴r=7

故第18项的系数最大。

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展开式的系数和

例1 已知：(x3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．

（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项

23解：令x=1，则展开式中各项系数和为(13)n22n，又展开式中二项式系数和为2n，

∴22n2n992，n5．

（1）∵n=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，

233232223∴T3C(x)(3x)90x，T4C(x)(3x)270x，

235r104r3252263523（2）设展开式中第r+1项系数最大，则Tr1C(x)r5(3x)3Cx2rrr5，

rrr1r1793C53C5r∴rr，∴r4，

r1r1223C53C5即展开式中第5项系数最大，T5C(x)(3x)405x．

例2

设：(2x3)3a0a1xa2x2a3x3。求：(a0a2)2(a1a3)2的值。

解：在(2x3)3a0a1xa2x2a3x3

令x=1，得

(a0a2)(a1a3)(23)3

令x=-1，得

(a0a2)(a1a3)(32)3

两式相乘得

(a0a2)2(a1a3)2(1)31。

例3 已知(12x)7a0a1xa2x2（1）a1a2a7x7，求：

452324263a7； （2）a1a3a5a7； （3）|a0||a1||a7|. a7

解：（1）当x=1时，(12x)7(12)71，展开式右边为a0a1a2∴a0a1a2a71，

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当x=0时，a01，∴a1a2（2）令x=1，

a0a1a2a7112，

a71 ① 令x=-1，a0a1a2a3a4a5a6a737 ②

137①②

得：2(a1a3a5a7)13，∴

a1a3a5a7. 27（3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正，

∴由（2）中①+②

得：2(a0a2a4a6)137，

137∴

a0a2a4a6， 2∴|a0||a1||a7|a0a1a2a3a4a5a6a7

(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)37

例4 在(2x3y)10的展开式中,求: ①二项式系数的和；②各项系数的和；③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；④奇数项系数和与偶数项系数和；⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. r分析:因为二项式系数特指组合数Cn,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式2x3y中的系数无关. 解：设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10(*), 各项系数和即为a0a1a10,奇数项系数和为a0a2a10,偶数项系数和为a1a3a5a9,x的奇次项系数和为a1a3a5a9,x的偶次项系数和a0a2a4a10. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. 0110①二项式系数和为C10C10C10210. ②令x=y=1,各项系数和为(23)10(1)101. 0210③奇数项的二项式系数和为C10C10C1029,偶数项的二项式系数和为2012.03.30

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139C10C10C1029. ④设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10, 令xy1,得到a0a1a2a101…(1), 令x1,y1(或x1,y1)得a0a1a2a3a10510…(2) (1)+(2)得2(a0a2a10)1510,∴奇数项的系数和为1510; 2(1)-(2)得2(a1a3a9)1510,∴偶数项的系数和为15

210⑤x的奇次项系数和为a1a3a5a915; 210x的偶次项系数和为a0a2a4a1015. 102要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.

例5 设1x1x1x当a0a1a2231xa0a1xa2x2nanxn，

an254时，求n的值

an22223解：令x=1得：a0a1a22(2n1)254，∴2n128,n7，

221n对于f(x)a0(xa)na1(xa)n1an，令x-a=1即x=a+1可得各项系数的和a0a1a2

an的值；令x-a=-1即x=a-1，可得奇数项系数和与偶数项和的关系

二项式定理的其它问题

例1 在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数

解：∵(x23x2)5(x1)5(x2)5

∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为C155x，

4在(2+x)展开式中，常数项为2=32，含x的项为C152x80x 55∴展开式中含x的项为

1(80x)5x(32)240x，∴此展开式中x的系数为240

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123例2 求证：Cn2Cn3CnnnCnn2n1．

n ①

nCn123证（法一）倒序相加：设SCn2Cn3Cnnn1n2又∵SnCn(n1)Cn(n2)Cn21

②

2CnCnrnr0n1n1∵Cn，∴CnCnCn,CnCn,012CnCn由①+②得：2SnCnnCn，

， 1123∴Sn2nn2n1，即Cn2Cn3Cn2nnCnn2n1．

（法二）：左边各组合数的通项为

rrrCnn!n(n1)!r1nCn1，

r!(nr)!(r1)!(nr)!n1n1Cn．

1n21232Cn3Cn∴

Cnn012nCnnCnCC1n1n2

1n12n2n1例3 已知Sn2nCn2Cn2Cn21(nN)，

求证：当n为偶数时，Sn4n1能被64整除

例4 求(x23x4)4的展开式中x的系数

分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开

解：（法一）(x23x4)4[(x23x)4]4

01234C4(x23x)4C4(x23x)34C4(x23x)242C4(x23x)43C444，

显然，上式中只有第四项中含x的项，

3∴展开式中含x的项的系数是C4343768

（法二）：(x23x4)4[(x1)(x4)]4(x1)4(x4)4

0413223404132234(C4xC4xC4xC4xC4)(C4xC4x4C4x42C4x43C444)

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3433∴展开式中含x的项的系数是C44C44768．

例5 已知f(x)12x14x

(m,nN*)的展开式中含x项的系数为36，求展mn开式中含x2项的系数最小值

分析：展开式中含x2项的系数是关于m,n的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得2m4n36，从而转化为关于m或n的二次函数求解

解：12x14x展开式中含x的项为

1111Cm2xCn4x(2Cm4Cn)x

11∴(2Cm4Cn)36，即m2n18，

mn12xm14x展开式中含x2的项的系数为

n2222t=Cm2Cn42m22m8n28n，

∵m2n18，

∴m182n，

∴t2(182n)22(182n)8n28n16n2148n612

16(n23715337n)，∴当n时，t取最小值，但nN*，

448∴

n5时，t即x2项的系数最小，最小值为272，此时n5,m8．

2012.03.30

选修2-3 二项式定理

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