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教学内容

推理与证明小结

知识与技能：1.了解本章知识结构。

2．进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。

过程与方法：1、能利用归纳和类比等进行简单的推理

教学目标

2、能用综合法、分析法、反证法、数学归纳法证明一些简单数学命题。

情感、态度与价值观：认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力

教学重点

进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。

教学难点

认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力

教学准备

多媒体

课时安排

1 第一课时

课时目标

进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。

一、知识要点

1.归纳推理:主要应用于先由已知条件归纳出一个结论,并加以证明或以推理作为题目的已知条件给出猜测的结论,并要求考生会应用或加以证明. 2.类比推理:通过两类事物的相似性或一致性,用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论.常见的有结论类比和方法类比.高考资源网

3.演绎推理

4.证明

①综合法和分析法:会用这两种方法证明具体问题; ②反证法

近几年高考中加大了其考察力度. ③数学归纳法.在有关正整数的问题证明时常用数学归纳法进行证明. 二、知识纵横

归纳推理教学过程

合情推理推理类比推理演绎推理

推理与证明综合法直接证明证明分析法间接证明反证法1.

考查类比推理

例1(2003年全国卷）在平面几何里，由勾股定理：“设ABC的两边AB,AC互相垂直，则AB2AC2BC2”，拓展到空间，类比平面几何勾股定理，可以得到的正确的结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两互相垂直，则 ”。

解：如图，作AEBC，垂足为E，连接DE．由三个侧面两两相互垂直

1

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可知ADAE．在ABC

11ABAC12SABCABACBCAE，AB2AC2；中，得AE，又S

ABC22BC212SAC2AD2；

ACD41222SABAD．

ABD4111AB2AC222222222SBCDBCEDBCADAEBCAD

2444BC1111BC2AD2AB2AC2AB2AC2AD2AB2AC2

4444222SABCSACDSABD．

点评:这道题目考察的是平面到空间的推广类比．解答这类题目不能只满足结论形式上的相似，还必须是真命题，结论的推导还是要从平面结论下手，一般在推导空间的结论时要用到平面的结论，或利用类似平面结论推导的方法，如等面积法类比等体积，直线类比作平面等．

2.考查归纳推理

例2(2009年福建卷理科第16题)

五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，

当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 高考资源网

答案：7次

【解析】这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了. 这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是

2

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3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次.

例3 (2008年江苏10)．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

………………

按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第3个数为

【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1n2n＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第2n2nn2n6＋3个，即为．

22n2n6【答案】高考资源网

2

3.证明

111例4（2008江苏卷21）设a，b，c为正实数，求证：333≥23．

abc111111证明：因为a,b,c为正实数，由平均不等式可得33333333

abcabc1113 即 333

abcabc1113abc，

所以333abcabcabc33 而abc2abc23

abcabc111 所以

333+abc≥23 abc

4反证法

反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明高考资源网

1例5 已知，a,b,c(0,1)，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a不能同时大于。

4

3

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证法一：假设三式同时大于1111，即1ab，1bc，1ca

44441a,b,c0,1，三式同向相乘得1ab1bc1ca，又642111aa11bb1cc同理，

1aa44241

1ab1bc1ca，这与假设矛盾，故原命题得证。

641证法二：假设三式同时大于，0a11a0，41ab1ab11,

2421bc11ca133,三式相加得，这是矛盾的，故假设错,

同理222222误，所以原命题正确

1点评：“不能同时大于”包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明。4即正难则反

（1）当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少、等类型问题时，常用反证法。

（2）用反证法的步骤是：①否定结论ABC②而C不合理与公理矛盾

与题设矛盾与假设自相矛盾③因此结论不能否定，结论成立高

考

五.作业: 教材P46第1,2,3题

安全提示

请同学们放学后注意交通安全

再热不到河里游泳，防止溺水。

1.已知a、b、c为互不相等的正数，且abc=1, 111求证：a +b +c﹤+ +

abc

2. 已知a﹥5,求证：a-5 -a-3﹤a-2-a 练习设计

3.求证:两条相交直线有且只有一个交点.

4.

有下列等式：

11﹥ 2

4

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111+ +﹥1 2311131+ + +…+﹥

23721111+ + +…+

﹥2 2315……

你能得到怎样的不等式，并加以证明. 推理与证明小结

一、知识要点 电子白板 四、练习设计

二、知识纵横 五、课后作业

三、例题 板书设计

5