1.3 实习作业优质课教案整理

4.6 正弦定理和余弦定理

【重点难点】：理解正、余弦定理的证明，并能解决一些简单的三角形度量问题．

【考点概述】：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

【知识扫描】：1.正弦定理和余弦定理

定理

正弦定理

余弦定理

abc

2R

sinasinbsinc内容

a2 ，

b2 ，

c2 。

变

形

形

式

①a ，

b ，

c ；

②sinA ，

sinB ，

sinC ；

（其中R是ABC外接圆半径）

③a:b:c 。

④asinBbsinA,bsinCcsinB,

cosA ；

cosB ；

cosC 。

asinCcsinA；

解决①

已知两角和任一边，求另一角和其他两解斜条边；

三角②

已知两边和其中一边的对角，求另一边形的和其他两角。

问题

2.常用的三角形面积公式：

①

已知三边，求各角；

②

已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角。

S11abc1ahaabsinC= = =r(abc)

224R2【热身练习】

[判一判] (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比。(

) 解析

错误。三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比。

(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B。(

) 解析

正确。

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素。(

)

解析

错误。如已知三角形的三个内角，则无法解三角形。

(4)正弦定理对钝角三角形不成立。(

) 解析

错误。正弦定理适用于所有三角形。 (5)在△ABC中，若abc，则△ABC为钝角三角形。(

) (6)在△ABC中，若abc，则△ABC为锐角三角形。(

) 解析

错误。由abc，可知cos C>0，即C为锐角，但不能判定该三角形的形状。

热点命题【范例透析】

考点一 利用正余弦定理解三角形

【例1】在△ABC中，a＝23，c＝22，A＝60°，则C＝(

) A．30°

C．45°或135°

引导学生分析解答思路

变式训练

(１)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝(

) A．30°

C．120°

考点二 利用正余弦定理判断三角形的形状

【例2】

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且(ab)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状。

解题分析

入手思路

板书

化简及计算

⊙2种途径——判断三角形形状的途径

根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换。

22222222222B．45°

D．60°

B．60°

D．150°

考点三

与三角形面积有关的问题

正、余弦定理与三角形面积的综合问题是每年高考的重点内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题。

角度一

求三角形面积

例题分析：1．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________。

角度二

已知三角形面积解三角形

例题分析：2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知△ABC的面积1为315，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________。

4角度三

与向量，不等式综合应用

→→π例题分析：3．在△ABC中，已知AB·AC＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为________。

6【规律方法】

与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略

111(1)求三角形的面积。对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个222角就使用含哪个角的公式。

(2)已知三角形的面积解三角形。与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化。

(3)与向量、不等式的综合问题。此类问题常利用向量的数量积或基本不等式求解。

【巩固练习】

1．在ABC中，若a=1,C60, c=3，则A的值为 。

inA . 2．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，若a1，b=3，A+C=2B，则s3．在△ABC中，若（a＋b＋c）(b＋c－a）＝3bc，则A等于__________．

4．在ABC中，若sinA:sinB:sinC3:4:5，则cosB______。

π35. △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A＝，b＝1，△ABC的面积，

32则a的值为 ____ _.