三 反证法与放缩法教学设计

课 题：

2.2.3 反证法

目的要求： 1.理解并掌握反证法 2.会利用反证法证明结论

重点难点：会利用反证法证明结论

教学过程：

一、引入：

前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步

分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步

作出与所证不等式相反的假定；

第三步

从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步

断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

二、典型例题：

2例1、已知f(x)＝x＋px＋q

求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2 1(2)

|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于. 2[思路点拨] “不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”．

[证明] (1)f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(q＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. 1(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于. 2则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾

1∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于. 2注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。

议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？

例2、求证：三个互不相等的正数a、b、c成等差数列，则a，b，c不可能成等比数列．

证明：假设a，b，c成等比数列，则bac

又∵a、b、c成等差数列

2

∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d公差)．

∴ac＝b＝(b－d)(b＋d)．∴bbd

∴d＝0，∴d＝0.这与已知中a、b、c互不相等矛盾．

∴假设不成立．∴a、b、c不可能成等比数列．

三、小结：

1.反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明

假设不成立，从而断定原命题成立．

2.反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”，“至少”，“不能”等词语的不等式．

四、练习：

1、利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且ab，则

22222ama.

bmb2、设0 < a, b, c < 2，求证：(2 

a)c, (2 

b)a, (2 

c)b,不可能同时大于1

五、作业：

1、若x, y > 0，且x + y >2，则1y1x和中至少有一个小于2。

xy提示：反设

1y1x≥2，≥2

∵x, y > 0，可得x + y

≤2

与x + y >2矛盾。

xy2、设ab0，试用反证法证明

asinxbabab不能介于与之间。

asinxbabab