1.3 二项式定理（通用）优质课一等奖

教学设计方案

课题名称

1.3.1 二项式定理

姓名

年级学科

杨伟力

数学

工作单位

学

教材版本

人教A版

石家庄市藁城区第一中一、教学内容分析

(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.

二、教学目标

【学习重点】用计数原理分析(ab)2的展开式，得到二项式定理．

【学习难点】用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.

三、学习者特征分析

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．

四、教学过程

（一）提出问题，引入课题

引入：我们初中学过的完全平方式是(ab)2a22abb2，那么(ab)3? (ab)4?

我们还能写出(ab)n的展开式是什么？这便是今天要讲的二项式定理。

（二）引导探究，发现规律

1、多项式乘法的再认识．

问题1. (a1a2)(b1b2)的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？

问题2. (a1a2)(b1b2)(c1c2)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？

2、(ab)3展开式的再认识

探究1：不运算(ab)3，能否回答下列问题（小组进行讨论）：

(1) 合并同类项之前展开式有多少项？

(2) 展开式中有哪些不同的项？

(3) 各项的系数为多少？

(4) 从上述三个问题，你能否得出(ab)3的展开式？

探究2：仿照上述过程，请你推导(ab)4的展开式.

(三) 形成定理，说理证明

探究3：仿照上述过程，请你推导(ab)n的展开式．

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)———

二项式定理

证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是a的形式，对于每一项anknnkbk(k0,1,n)bk，它是由k个(ab)选了b，n－k个(ab)选了a得到的，k它出现的次数相当于从n个(ab)中取k个b的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

(四) 熟悉定理

二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）

1. 项数：共有n１项.

2. 次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．各项的次数都等于n．

012knk3. 二项式系数: 依次为Cn，这里Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn(k0,1,,n)称为二项式系数. knkk4. 二项展开式的通项: 式中的Cnab叫做二项展开式的通项. 用Tk1表示. knkk即通项为展开式的第k１项: Tk1=Cnab

5、(1x)CnCnxCnxCnxCnx (五)例题分析

例1. 求(2xn0122kknn16)的展开式. x思考1：展开式的第３项？

思考2：展开式的第３项的二项式系数是多少？

思考3：展开式的第３项的系数是多少？

思考4：展开式中的有理项有哪几项？

变式1：你能否直接回答以上问题？

变式2、求

(

能力提升

4（2013全国）

(1-x)(1x)3

的展开的x系数是

21x2x)6

的展开式中的第3项；

(六) 课堂小结，课后作业

小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）

1.

公式：

(ab)CnaCna2.

会求指定项

n0n1n1knkknnbCnabCnb(nN*)

3.

思想方法：1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程. 作业

巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 1、2、3 思维拓展型作业：二项式系数质．

012kn有何性Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn

五、教学策略选择与信息技术融合的设计

教师活动

提出问题，引入课题

预设学生活动

设计意图

把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.

学生动手计算

引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对(ab)3的展开引导探究，发现规律

学生动手计算

式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导(ab)的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

n

通过仿照、(ab)3(ab)4展开式

形成定理，说理证明

学生小组讨论

的探究方法，由学生类比得出

(ab)n的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原

理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．

例题分析

熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．

学生动手练习

六、教学评价设计

在学习过程中，我想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力。从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果.以学生为主体，以情趣为载体，以合作交流为手段，以能力提高为目的，重视知识的形成探索过程，学生通过自主探究，合作交流，体会合作学习的乐趣。

七、教学板书

二项式定理

一、展开式

二、通项

三、二项式系数与项的系数区别

八、教学反思

本节课我把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题。探讨规律中引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备。通3(ab)过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对的展开式进n(ab)行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依。通34n(ab)(ab)(ab)过仿照、展开式的探究方法，由学生类比得出的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式。回归课本，熟悉二项展开式，培养学生的运算能力，通过例题，层层变式，掌握本节学习重点与难点。