2.1.2 演绎推理教学实录与评析

合情推理（3）

天台苍山中学

胡克贵

教材分析：

“合情推理”是高中数学课程标准的亮点之一．从解放后首次制定（1952年）中小学数学教学大纲开始，关于数学能力主要以三大能力为具体内容；1978年增加了“培养学生分析问题与解决问题的能力”，而对核心逻辑思维能力中推理的理解，仅局限在演绎和归纳两个方面，并且不论是教材的呈现方式，还是教师的教学、考试都是以演绎推理和严格的证明为主，归纳推理没有引起足够的重视，类比推理更难寻其踪影．2001年7月《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）中，提出让“学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理，能有条理地、清晰地阐述自己的观点”．合情推理首次进入国家纲领性文件，这标志着我国数学教育观念的一次转变，标志着合情推理得到了应有的重视．2003年颁布的《普通高中数学课程标准》（实验稿）中，强调在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论的作用，而且在教材中专门设置了合情推理的内容．

教学目标：

(1)知识与能力：

结合已学过的数学实例和生活中的实例，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．

(2)过程与方法：

本节课主要是利用合情推理前两节课的学习，进一步系统地认识合情推理在实际问题中的应用，在整个过程中学生已经具备独立研究的知识和能力，因此以“移动小金属片试验”来分解教学中的抽象点，采用以学生参与为主，教师适当启发，让学生积极参与到教学活动中来．

(3)情感态度价值观：

正确认识类比推理在数学中的重要作用，让学生感受数学思维的情趣，培养学生认真观察事物、分析问题、发现新事物的良好个性品质.

教学重点：进一步了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点：用归纳和类比进行推理，做出猜想

教学辅助：小硬纸片、多媒体课件

教学方法：讲授为主

教学过程：

一、知识回顾

1、合情推理分类.

归纳推理

推理形式：特殊到一般

类比推理

推理形式：特殊到特殊

2、合情推理推理过程. 1

从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳类比→提出猜想

3、合情推理的步骤.

归纳推理步骤：

（1）对有限资料进行观察、分析、归纳整理

（2）在此基础上提出带有规律性的结论

（3）检验猜想

类比推理步骤：

（1）找两类对象的相似特征

（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象特征

（3）检验猜想

二、讲授新课

【故事引入】河内塔游戏（Tower of Hanoi）

传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个大小不同圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用.

1.每次只能移动1个圆环；

2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面.

如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了. 【设计意图】激发学生好奇感，过度到例题1的讲解. 例1 如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片；

2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测；把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?

2

1

3 【设计意图】培养学生化归的思想，进一步体会合情推理是发现新结论的有效途径.

分析：我们从移动1，2，3，4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需要的次数. 【教师提醒】带着2个问题操作：1、怎样体现最少？2、相连2次之间有何联系？

【学生活动】将学生分成7个小组，每个小组发实验用具（5个小硬纸片），一个组员记录，一个组员操作，2个组员提供参考方案，一个发表观点，一个留意移动的重复性.

解法一：设an表示移动n块金属片时的移动次数，

2

当n=1时,

a1 = 1 【设问】把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 解法二：设an表示移动n块金属片时的移动次数，

将n个金属片的任务转化为两次移动（n-1）个金属片和移动一次第n个金属片的任务.而移动（n-1）个金属片需要移动两次（n-2）个金属片和移动一次第n-1个金属片的任务，------如此继续，直到转化为移动1个金属片的情形，据这个过程，可得递推公式

当n=2时,

a2 = 3 当n=3时,

a3= 7 当n=4时,

a4 =15 归纳：

(nN*).an2n1a1 = 1 an2an11(nN*,且n1).

例2 上一个有n级的台阶，每步可上一级或两级，共有多少种上台阶的方法？

【设计意图】培养学生化归的思想，进一步体会合情推理是发现新结论的有效途径.

分析：我们从走1，2，3，4级的楼梯情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出走n个楼梯的方法数. 解：设an表示走n级楼梯时的方法数

当n=1时,

a1 = 1 当n=2时,

a2 = 2 当n=3时,

a3= 3 归纳：

ananan1an2当n=4时,

a4 = 5 (n2且nN*).515n115n1[()()]

522【设问】还有其他方法吗？

解法二：设an表示

上n级台阶的方法数，

上n级楼梯的任务分两类方案完成：第一种是从第（n-1）级楼梯走到第n级楼梯，有

a

n

1

.

种方法

. 第一种是从第（n-2）级楼梯走到第n级楼梯，有

a

n



2

种方法------如此继续，直到转化1级楼梯的情形，据这个过程，可得递推公式

a1 = 1 anan1an2(nN*,且n2).

三、课堂练习（预备）

五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次. 请问当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为

. 3

【设计意图】让学生进行合理推理的练习，巩固合情推理的应用.

四、课堂小结

1、知识目标：

（1）合情推理推理过程: 从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳类比→提出猜想

( 2) 归纳推理步骤：

①对有限资料进行观察、分析、归纳整理

②在此基础上提出带有规律性的结论

③检验猜想

（3）类比推理步骤：

①找两类对象的相似特征

②用一类对象的已知特征去推测另一类对象特征

③检验猜想

2、情感目标：感知了合情推理“发现”功能的魅力

3、涉及数学思想方法：归纳类比思想、转化归纳思想、整体思想、分类讨论思想. 五、课外作业

1、教材P84 A组T5，B组T1，T3 2、延伸作业：请同学们收集近3年高考试题中有关

《合情推理》的题目，并大胆尝试做一做.

【设计意图】培养学生良好的学习习惯.

板书设计：

合情推理（3）

1、合情推理分类

例1 --------

例2-------- 2、合情推理过程

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-------- 3、合情推理步骤

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