小结教案（名师）

高中数学必修内容训练试题---直线和圆的方程

一、选择题（每题3分，共54分）

1

在直角坐标系中，直线x3y30的倾斜角是（

）

A．

6

2B．

32

C．5

6

D．2

3）

2

若圆C与圆(x2)(y1)1关于原点对称，则圆C的方程是（ A．(x2)(y1)1 C．(x1)(y2)1 22

B．(x2)(y1)1

D．(x1)(y2)1

2222223

直线axbyc0同时要经过第一

第二

第四象限，则a、b、c应满足（ ）

A．ab0,bc0

B．ab0,bc0

C．ab0,bc0

4

已知直线l1:yD．ab0,bc0

1x2，直线l2过点P(2,1)，且l1到l2的夹角为45，则直线l2的方程是（

）

213A．yx1

B．yx

C．y3x7

D．y3x7

355

不等式2xy60表示的平面区域在直线2xy60的（ ）

A．左上方

B．右上方

22

C．左下方

D．右下方

6

直线3x4y90与圆xy4的位置关系是（ ）

A．相交且过圆心 B．相切

C．相离 22

D．相交但不过圆心

7

已知直线axbyc0(abc0)与圆xy1相切，则三条边长分别为a、b、c的三角形（

）

A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 ) D．不存在

8

过两点(1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是( A．3 2

B．2 3

)

C．2

5

D．2 9

点(0,5)到直线y2x的距离为( A．5

2

B．5

C．3

2

D．5

210

下列命题中，正确的是( ) A．点(0,0)在区域xy0内 C．点(1,0)在区域y2x内

B．点(0,0)在区域xy10内

D．点(0,1)在区域xy10内

11

由点P(1,3)引圆xy9的切线的长是 ( ) 22A．2

B．19

C．1

D．4 12

三直线ax2y80,4x3y10,2xy10相交于一点，则a的值是( ) A．2

B．1

C．0

D．1 13

已知直线l1:3xy0,l2:kxy10

，若l1到l2的夹角为60，则k的值是 A．3或0

B．3或0

C．3

D．3

14

如果直线ax2y10与直线xy20互相垂直，那么a的值等于( ) A．1

B．13

C．23

D．2

15

若直线ax2y20与直线3xy20

平行，那么系数a等于( ) A．3

B．6

C．32

D．23

16

由yx和圆x2y24所围成的较小图形的面积是( ) A．4

B．

C．34

D．32

1722

动点在圆xy1

上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( A．(x3)2y24

B．(x3)2y21

C．(2x3)24y21

D．(x3)2y2122

18

参数方程yx33cos33sin

表示的图形是( ) A．圆心为(3,3)，半径为9的圆

B．圆心为(3,3)，半径为3的圆

C．圆心为(3,3)，半径为9的圆

D．圆心为(3,3)，半径为3的圆

二、填空题（每题3分，共15分）

19

以点(1,3)和(5,1)为端点的线段的中垂线的方程是 20

过点(3,4)且与直线3xy20平行的直线的方程是 21

直线3x2y60在x、y轴上的截距分别为 22

（2，3），(4,3)及(5,k三点2)在同一条直线上，则k的值等于

)

23

若方程xy2x4y1a0表示的曲线是一个圆，则a的取值范围是 22三、解答题（第24、25两题每题7分，第26题8分，第27题9分，共31分）

24

若圆经过点A(2,0),B(4,0),C(0,2)，求这个圆的方程

25

求到两个定点A(2,0),B(1,0)的距离之比等于2的点的轨迹方程

26

求点A(3,2)关于直线l:2xy10的对称点A的坐标

'

27

已知圆C与圆xy2x0相外切，并且与直线x3y0相切于点Q(3,3)，求圆C的方22程

直线与圆检测题

(二) 一、选择题：

1.

已知过A1,a、Ba,8两点的直线与直线2xy10平行，则a的值为（

）

A. -10 B. 2 C.5 D.17 2.

设直线xmyn0的倾角为，则它关于x轴对称的直线的倾角是（

）

Ａ. B.2 C. D.2

3.

已知过A(2,m),B(m,4)两点的直线与直线y1x垂直，则m的值（

）

2A.4 B.-8 C.2 D.-1 4.

若点P(m,0)到点A(3,2)及B(2,8)的距离之和最小，则m的值为（ ）

A. 2 B. 1 C. 2 D. 1

5.

不论k为何值，直线(2k1)x(k2)y(k4)0恒过的一个定点是（

）

A.(0,0) B.(2,3) C.(3,2) D.(-2,3) 6.

圆(x1)(y2)8上与直线xy10的距离等于2的点共有（ ）

A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个

7.

在Rt△ABC中, ∠A＝90°, ∠B＝60°, AB=1, 若圆O的圆心在直角边AC上, 且与AB和BC所在的直线都相切, 则圆O的半径是（

）

A.221233 B. C. D. 2323228.

圆xy2x2y10上的点到直线xy2的距离的最大值是（

）

A.2

B. 12 C．2222 D. 122

29.

过圆xy4xmy0上一点P(1,1)的圆的切线方程为（ ）

A.2xy30 B. 2xy10 C. x2y10 D. x2y10

10.

已知点P(a,b)(ab0)是圆O：xyr内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为axbyr，则（ ）

A．m∥n且n与圆O相离 B．m∥n且n与圆O相交

C．m与n重合且n与圆O相离 D．m⊥n且n与圆O相离

二、填空题：

11.

若直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移1个单位，又回到原来的位置，则直线l的2222

斜率k=_________ ． 12.

斜率为1的直线l被圆xy4截得的弦长为２，则直线l的方程为

．

13.

已知直线l过点P(5,10),且原点到它的距离为5,则直线l的方程为 .

14.

过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是

． 15.

已知圆C的圆心与点P(2,1)关于直线yx1对称，直线3x4y110与圆C相交于A、B两点，且AB6，则圆C的方程为

．

三、解答题：

16.

求经过直线l1:3x+4y-5=0 l2:2x-3y+8=0的交点M,且满足下列条件的直线方程：

(Ⅰ)经过原点;

(Ⅱ)与直线2x+y+5=0平行;

(Ⅲ)与直线2x+y+5=0垂直.

17.

已知△ABC的两个顶点A(-10，2)，B(6，4)，垂心是H(5，2)，求顶点C的坐标．

218.

已知圆C：x1y9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.

222（Ⅰ）当l经过圆心C时，求直线l的方程；

（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；

（Ⅲ）当直线l的倾斜角为45º时，求弦AB的长.

19.

已知圆C:(xa)(y2)4(a0)及直线l:xy30. 当直线l被圆C截得的弦长为2222时, 求

（Ⅰ）a的值；

（Ⅱ）求过点(3,5)并与圆C相切的切线方程.

2220.

已知方程xy2x4ym0. （Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围；

（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x2y40相交于M，N两点，且OMON（O为坐标原点）求m的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.

2221.

已知圆C:x(y1)5，直线l:mxy1m0。

（Ⅰ）求证：对mR，直线l与圆C总有两个不同交点；

（Ⅱ）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；

（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为

AP1，求此时直线l的方程。

PB2

2014高考题

1．[2014·浙江卷] 已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(

) A．－2

B．－4

C．－6

D．－8答案：B

2．[2014·安徽卷] 过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(

) ππππA.0，

B.0，C.0，

D.0，答案：D

63633．[2014·北京卷] 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，

使得∠APB＝90°，则m的最大值为(

) A．7

B．6C．5

D．4

答案：B

4．，[2014·福建卷] 已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，

x＋y－7≤0，平面区域Ω：x－y＋3≥0，若圆心C∈Ω，

y≥0.且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为(

) A．5

B．29

C．37

D．49答案：C

5．[2014·湖南卷] 若圆C1：x＋y＝1与圆C2：x＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(

) A．21

B．19

C．9

D．－11答案：．C

6．[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，

直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截

2222得的弦长为________．答案：.

55

5

8、[2014·全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2 的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，

4则l1与l2的夹角的正切值等于________．答案：.

3

9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M(x0，1)，

若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，

则x0的取值范围是(

) 1122－，C. [－2，2]

D. －，答案：A

A. [－1，1]

B. 2222

10、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0 ，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，

O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

11．[2014·山东卷] 圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为________．答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4

12．[2014·重庆卷] 已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．答案：0或6

13、[2014·四川卷] 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是(

) A．[5，2 5 ]

B．[10，2 5 ]C．[10，4 5 ]

D．[25，4 5 ]答案：B

2013高考题

1 ．已知过点P(2,2) 的直线与圆(x1)2y25相切, 且与直线axy10垂直, 则a

（

）

1A．

2B．1 C．2 D．1

22 ．已知点M(a,b)在圆O:x2y21外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是

（

）

A．相切

3 ．垂直于直线yB．相交

C．相离

D．不确定

（

）

x1且与圆x2y21相切于第一象限的直线方程是

B．xy10 D．xy20

A．xy20

C．xy10

4 ．若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是_________.

5．直线

y=2x+3被圆x+y-6x-8y=022所截得的弦长等于__________.

6．过点(3,1)作圆7． 的弦,其中最短的弦长为__________

已知圆C的方程为x(y4)4,点O是坐标原点.直线l:ykx与圆C交于M,N两点. (Ⅰ)求k的取值范围;

22

高中数学必修内容训练试题---直线和圆的方程答案

一、

题号

答案

二、19

xy20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C A A D D D B A B A C B A D B B C D 20

3xy50

21

2和3

22

12

23

a4

三、24

设所求圆的方程为xyDxEyF0, 2242DF0D622则有164DF0E6 所以圆的方程是xy6x6y80

2EF40F825

设M(x,y)为所求轨迹上任一点，则有MAMB2

(x2)2y2(x1)2y22x24xy20

13b2a21134'5 A'(,)

26

设A(a,b)，则有a34a3b255210b52227

设圆C的圆心为(a,b)，

b33a3a4或a0则b43r2或r6

b0a3b(a1)2b212所以圆C的方程为(x4)2y24或x2(y43)236

直

线

与

圆

复

习

题

参

考

答

案

题号

答案

1 B 2 C 3 B 4 A 5 B 6 C 7 D 8 B 9 D 10 A 1 12、yx6 13、x5或3x4y250

2222y5014、x 15、x(y1)18

16、解：(Ⅰ)2xy0

（Ⅱ）

2xy0

（Ⅲ）x2y50

11、k=

17、解: kBH2412 ∴ kAC

5621∴直线AC的方程为y2(x10) 即x+2y+6=0 (1) 2又∵kAH0 ∴BC所直线与x轴垂直 故直线BC的方程为x=6 (2) 解(1)(2)得点C的坐标为C(6,-6) 218、解：(Ⅰ)已知圆C：x1y29的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，

所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y2(x1)，即

2xy20. (Ⅱ)当弦AB被点P平分时，l⊥PC,

直线l的方程为y2即x2y60

(Ⅲ)当直线l的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l的方程为y2x2, 1(x2),

21，圆的半径为3，弦AB的长为34. 219、解：（Ⅰ）依题意可得圆心C(a,2),半径r2，

a23a1则圆心到直线l:xy30的距离d

2221(1)即xy0，圆心C到直线l的距离为222)r2，代入化简得a12

2解得a1或a3，又a0，所以a1

22（Ⅱ）由（1）知圆C:(x1)(y2)4，

又(3,5)在圆外

①当切线方程的斜率存在时，设方程为y5k(x3)

5由圆心到切线的距离dr2可解得k

12切线方程为5x12y450

②当过(3,5)斜率不存在直线方程为x3与圆相切

由①②可知切线方程为5x12y450或x3

由勾股定理可知d(220、解：（Ⅰ）xy2x4ym0

D=-2，E=-4，F=m

22D2E24F=20-4m0，

m5 x2y40

（Ⅱ）2

x42y代入得

2xy2x4ym02

5y16y8m0

8m16y1y2，y1y2

∵OMON 55得出：x1x2y1y20 ∴5y1y28(y1y2)160 ∴m（Ⅲ）设圆心为(a,b)

8

5ax1x24yy1845,b1

半径r

25255

8216

552221、解：（Ⅰ）解法一：圆C:x(y1)5的圆心为C(0,1)，半径为5。

mm1∴圆心C到直线l:mxy1m0的距离d5

2m12m2∴直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点；

22方法二：∵直线l:mxy1m0过定点P(1,1)，而点P(1,1)在圆C:x(y1)5内∴直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点；

y

（Ⅱ）当M与P不重合时，连结CM、CP，则CMMP，

222∴CMMPCP

l

2222设M(x,y)(x1)，则x(y1)(x1)(y1)1，

B 圆的方程(x)(y)245化简得：xyx2y10(x1)

当M与P重合时，x1,y1也满足上式。

故弦AB中点的轨迹方程是xyx2y10。

2222C M A O P(1,1)x

AP11得APPB，

（Ⅲ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，由PB221∴1x1(x21)，化简的x232x1………………①

2mxy1m02222又由2消去y得(1m)x2mxm50……………（*）

2x(y1)52m2∴x1x2

………………………………②

21m3m2由①②解得x1，带入（*）式解得m1，

1m2∴直线l的方程为xy0或xy20。

2014

直线与圆、圆与圆的位置关系

1．[2014·浙江卷] 已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(

) A．－2

B．－4

C．－6

D．－8 答案：B

2．[2014·安徽卷] 过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(

) ππA.0，

B.0，

63ππC.0，

D.0，

63

答案：D

3．[2014·北京卷] 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(

) A．7

B．6 C．5

D．4答案：B

x＋y－7≤0，4．，[2014·福建卷] 已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x－y＋3≥0，若圆心C∈Ω，且圆y≥0.C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为(

) A．5

B．29

C．37

D．49 答案：C

5．[2014·湖南卷] 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(

) A．21

B．19

C．9

D．－11 答案：．C

[解析] 依题意可得C1(0，0)，C2(3，4)，则|C1C2|＝33＋42＝5.又r1＝1，r2＝25－m，由r1＋r2＝25－m＋1＝5，解得m＝9. 6．[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．

|2－2－3|32答案：.

55

[解析] 由题意可得，圆心为(2，－1)，r＝2，圆心到直线的距离d＝2＝

5，51＋225所以弦长为2r2－d2＝2 924－＝

55 . 557.[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O4正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝. 3(1)求新桥BC的长．

(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

图1-6 答案：解：

方法一：

(1)如图所示，

以O为坐标原点，

OC

所在直线为

x

轴，

建立平面直角坐标系xOy.

由条件知A(0, 60), C(170，0)，

4直线

BC

的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－. 33又因为

AB⊥BC, 所以直线AB的斜率kAB＝. 4设点

B

的坐标为(a，b)，

b－0b－6034则kBC＝＝－，

kAB＝＝，

3a－170a－04解得a＝80, b＝120，

所以BC＝（170－80）2＋（0－120）2＝150. 因此新桥BC的长是150 m. (2)设保护区的边界圆M的半径为r m, OM＝d m (0≤d≤60)．

4由条件知，

直线BC的方程为y＝－(x－170)，

3即4x＋3y－680＝0. 由于圆M与直线BC相切，

故点

M(0, d)到直线BC的距离是r，

|3d

－

680|680－3d即r＝. 22＝54＋3r－d≥80，因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以

r－（60－d）≥80，即

680 －

3d5－（60－d）≥80，

680－3d－d≥80，5

解得10≤d≤35. 680 －

3d故当d＝10时，

r

＝最大，

即圆面积最大，

5所以当OM＝10 m时，

圆形保护区的面积最大．

方法二：

(1)如图所示，

延长

OA, CB

交于点F.

4因为

tan∠FCO＝，

343所以sin∠FCO＝，

cos∠FCO＝. 55因为OA＝60，OC＝170，

680OC850500所以OF＝OC tan∠FCO＝，

CF＝＝，

从而AF＝OF－OA＝. 33cos∠FCO34因为OA⊥OC, 所以cos∠AFB

＝sin∠FCO＝. 5400又因为

AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝，

从而BC＝CF－BF＝150. 3因此新桥BC的长是150 m. (2)设保护区的边界圆

M与BC的切点为D，连接

MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝r m，OM＝d m (0≤d≤60)．

因为OA⊥OC, 所以sin∠CFO＝cos∠FCO. 680－3dMDMDr3故由(1)知sin∠CFO＝＝＝＝，

所以r＝. MFOF－OM68055－d3因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，

r－d≥80，所以

r－（60－d）≥80，－3d－d≥80，6805即

680－3d5－（60－d）≥80，解得10≤d≤35. 680 －

3d故当d＝10时，

r＝最大，即圆面积最大，

5所以当OM＝10 m时，

圆形保护区的面积最大．

8、[2014·全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．

4答案：.

3

9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是(

) 11－，

A. [－1，1]

B. 22C. [－2，2]

D. －22

，22答案：A

10、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

答案：

解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，

所以圆心为C(0，4)，半径为4. 设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)．

由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆．

由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM. 1因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－，

318故l的方程为y＝－x＋. 33410又|OM|＝|OP|＝2 2，O到直线l的距离为，

5

故|PM|＝41016，所以△POM的面积为. 5511．[2014·山东卷] 圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为________．

答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4

12．[2014·重庆卷] 已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．

答案：0或6

13、[2014·四川卷] 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是(

) A．[5，2 5 ]

B．[10，2 5 ] C．[10，4 5 ]

D．[25，4 5 ] 答案：B

2013 1．C

2. B

3. A 4、(x2)(y23225)，5、【答案】42425，6、【答案】222 7、【答案】解:(Ⅰ)将ykx代入x(y4)4得

则

(1k2)x28kx120,(*)由(8k)24(1k2)120得

k23. 所以k的取值范围是(,3)(3,)