探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最大名师教学设计1

超几何分布与二项分布

考纲解读:

统计和概率的高考形式：

看好统计背景下的概率计算问题.“求随机变量的分布列、期望和方差”的套路题不再是主角.

而是侧重于统计与概率思想，数据分析与处理，结合生活实际决策性问题。

1、本质区别：

（1）超几何分布: 描述的是不放回抽样问题，

二项分布：描述的是放回抽样问题；

（2）超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题；

二项分布的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题。

2、计算公式: 1、超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取你n件，其中恰有

kn-k

CM×CN-M,k=0,1,2，，m,X件次品，则

px=k=nC()其中m={M,n}min,且年n＃N,M

NN.n,M,N?N*

1

2、二项分布:在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验k鬃pk(1-p)中事件A发生的概率为P，则p(X=k)=CNn-k,(k=0,1,2,,n)

记X~B(n,p)

温馨提示:

当题目中出现“用样本数据估计XXX的总体数据”时，均为二项分布问题。

教材：超几何分布和二项分布的区别：

（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；

（2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）。

当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.........

1】袋子中有1个白球和2个红球.

【例

(

1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止.求取球次数x的概率分布；(

2)每次取1个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次.求取球次数x的概率分布；(3)每次取1个球，放回，共取5次.求取到白球次数ξ的概率分布.

点评：

求随机变量的分布列，

一、要注意弄清什么是随机变量，建立它与随机事件的关系；

二、要把随机变量的所有值找出，不要遗漏；

三、是准确求出随机变量取每个值的概率.对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别.

【例2】

某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学因为活动的需要，.要从这

8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学.?(1)求X

的概率分布表；有女的概率.(2)求去执行任务的同学中有男

2

点评：

超几何分布中的概率问题属于古典概型的范畴，这类问题在古典概型中占较大的比例，因而归纳为一种常用的概率分布.用好超几何分布的概率公式有助于提高正确率，缩减思维量. 【变式练习1】

某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，

已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，

规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级. 百分制

85分及以上

70分到84分

60分到69分

60分以下

等级

A B C D

为了解该校高一年级学生身体素质情况，

从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，

按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，

样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.

(1)求n和频率分布直方图中x，y的值；

(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，

求至少有1人成绩是合格等级的概率； (3)在选取的样本中，

从A、C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，

记ξ表示所抽取的3名学生中为C等级的学生人数，

求随机变量ξ的分布列及均值.

【例3】某工人生产的产品的正品率是0.9，从该工人生产的产品中任抽3件检验，记其中的正品的件数为X.

(1)求X的概率分布；

(2)若X=3，2，1，0时，该工人将分别获得200，100，100，0元的奖励，求该工人所得奖励Y(元)的概率分布.

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【变式练习2】

某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米

(四舍五入,精确到0.1米) 以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出

频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右

前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，

0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 .

（Ⅰ）求进入决赛的人数；

频率0.30

组距0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0

第18题图

成绩（米）

5.25

6.15

7.05

7.95

8.85

9.75

10.65 （Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记求的分布列及数学期望；

表示两人中进入决赛的人数，

(Ⅲ) 经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲,乙各跳一次，求甲比乙远的概率. 空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～250为重度污染；＞300为严重污染。一环保人士记录2017年某地某月10天的AQI的茎叶图如下。

（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI100）的天数；

（按这个月总共30天计算）

（2）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为，求的概率分布列和数学期望。

强化训练：

从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策。为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态

度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了45人，其中打算生二胎的有15人，不打算生二胎

的有30人。

（1）从这45人中随机抽取3人，记生二胎人数为

，求随机变量的分布列和数学期望；

（2）若以这45人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从这45人中随机抽取3

人，记生二胎人数为，求随机变量的分布列和数学期望。

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总结一下：

•

综上可知：

•

当问题中涉及

•

“放回抽样”如例1（3）

•

“人数很多”（变式2）

•

“无样本容量”（例3）

•

“将频率视为概率”（巩固练习）

•

“用样本数据估计总体数据”（强化训练）

•

均为二项分布

•

高考解题中，我们能准确分清超几何分布与二项分布，以便能正确的解题，拿到满分！

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同学们下去，再找几个题试试吧，争取全部做对，加油哟！

对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出

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