1.3 二项式定理（通用）课件配套优秀教案案例

1.3.1二项式定理

教学目标：

知识技能：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用．

过程方法：通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，熟悉理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验．

情感、态度和价值观：通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程；通过对二项展开式结构特点的观察，体验数学公式的对称美、和谐美．

教学重难点: 重点：二项式定理的内容及应用

难点：二项式定理的推导过程及内涵

教学过程

一、设置情境，引入课题

问题

某人投资10万元，有两种获利的可能供选择．一种是年利率12％，按单利计算，10年后收回本金和利息．另一种年利率10％，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息．

试问，哪一种投资更有利？

分析：本金10万元，年利率12％，按单利计算，10年后的本利和是

10×（1＋12％×10）＝22（万元）

本金10万元，年利率10％，按每年复利一次计算，10年后的本利和是

10(110%)10

那么如何计算(110%)的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如(ab)的展开式．

二、探索研究二项式定理的内容

问题：(ab)的展开式有什么特点？你能将它展开吗？试一试．

【学生分组探究】

学生可能的探究方法1：

由(ab)abC1aC1b

2122(ab)2a22abb2C0aCabC222b

0322233(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC1abCabC333b

0413222344(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4C4aC4abC4abC4ab3C4b

10nn101……

学生可能通过具体的例子来展开说明，

如：(ab)3a33a2b3ab2b3或(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4

学生归纳过程可能如下：以(ab)4为例的展开式的分析过程：

(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)a44a3b6a2b24ab3b4

容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：a4,a3b,a2b2,ab3,b4．

【学生可能归纳出来：（1）每一项中字母a，b的指数之间的关系（2）项的个数有n1项】

在上面4个括号中：

40每个都不取b的情况有1种，即C04种，所以a的系数是C4；

13恰有1个取b的情况下有C14种，所以ab的系数是C4；

222恰有2个取b的情况下有C2种，所以的系数是abC44；

33恰有3个取b的情况下有C34种，所以ab的系数是C4；

4个都取b的情况下有C4种，所以b4的系数是C4；

4132223344因此(ab)4C04aC4abC4abC4abC4b．

44【归纳、猜想(ab)n?】

n1n1n22nrrn(ab)nC0bC2bCrbCnnaCnanananb(nN*)

教师根据情况进行指导和引导，尤其是各项二项式系数的确定，教师要从各项中a，b指数的含义如a,ab来引导，并要求学生说明怎么得到这些项？教师可以通过电脑演示各形式项的形成过程，将学生的思维过程展示．

学生可能的探究方法2：

43(ab)n(ab)(ab)(ab)(ab)，共n个(ab)，依据多项式乘法，直接写出各项．

【学生成果展示，可通过具体实例：通过投影、板书或口述】

问题：希望学生得到的规律

（1）项数：n1项；

（2）指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减至0，同时，字母b的指数由0递增至n；

012rn（3）二项式系数是Cn

,Cn,Cn,,Cn,Cnrnrr（4）通项：Tr1Cnab

【板书（1），（2）】

【规律（3）得到后，板书(ab)nanan1banrbrbn】

【规律（4）得到后，补全二项式定理板书】

教师引导中，可能用到的引导问题：

（1）将(ab)n展开，有多少项？

（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？

（3）字母a，b的指数的含义是什么？是怎样得到的？

（4）如何确定anrbr的系数？

教师引导学生观察二项式定理，从以下几方面强调：

（1）项数：n1项；

（2）指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减至0，同时，字母b的指数由0递增至n；

（3）二项式系数：下标为n，上标由0递增至n；

rnrrr（4）通项：Tr1Cn

ab指的是第r+1项，该项的二项式系数是Cn（5）公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，上面的定理是用不完全归纳法得到的，将来可以用数学归纳法进行严格证明．

三、二项式定理的应用

1．解决本节课开始提出的问题．

解：10(110%)102210(10.1)1010(1C1)24.5

100.1C100.1由此可见，按年利率10％每年复利一次计算的要比年利率12％单利计算更有利，10年后多得利息2.5万元．

备选例题

2．展开(12x)

解：(12x)C41(2x)C41(2x)C41(2x)C41(2x)C41(2x)

4040131222313404418x24x232x316x4

思考1．第三项的系数是多少？

思考2．第三项的二项式系数是多少？你能得到什么结论？

【板书：.二项式系数与项的系数是两个不同概念．】

思考3．若本例只求第三项的二项式系数，你还可以怎么处理？哪种方法更好？

四、归纳小结

1．学生的学习体会与感悟；

2．教师强调：

（1）主要探究方法：从特殊到一般再回到特殊的思想方法

（2）从特殊情况入手，“观察——归纳——猜想——证明”的思维方法，是人们发现事物规律的重要方法之一，要养成“大胆猜想，严谨论证”的良好习惯．

（3）二项式定理每一项中字母a，b的指数和为n，a的指数从n递减至0同时b的指数由0递增至n，体现数学的对称美、和谐美．二项式系数还有哪些规律呢？希望同学们在课下继续研究、能够有新的发现．

五、作业P121 习题10.4

2，4，5