1.3 二项式定理（通用）第一课时教学设计

§3.3 二项式定理的应用1 1．

二项式定理

n0n1n－11kn－kknn*(a＋b)＝Cna＋Cnab＋…＋Cnab＋…＋Cnb(n∈N)．

n这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)的二项展开式，其中的系数kkn－kkCn(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Cnab叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，kn－kk即展开式的第k＋1项；Tk＋1＝Cnab. 2．

二项展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 01n－1n(4)二项式的系数从Cn，Cn，一直到Cn，Cn. 3．

二项式系数的性质

mn－m(1)对称性：展开式的二项式系数两边对称相等，即Cn＝Cn. (2)增减性与最大值：展开式的二项式系数两边小中间大

当n当nn是偶数时，中间的一项n2n取得最大值．

n1n12是奇数时，中间两项n和n2相等，且同时取得最大值．

CCC(3)各二项式系数的和

nn012knn(a＋b)的展开式的各个二项式系数的和等于2，即Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＋…＋Cn＝2. 1350二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn24n－1＋Cn＋Cn＋…＝2.

2741．

(2011·广东)xx－的展开式中，x的系数是______．(用数字作答) x522．

(2012·陕西)(a＋x)展开式中x的系数为10，则实数a的值为________．

【题型分类】分类的目的不是要死记每一类，而是要触类旁通，最终能够以不变应万变

题型一

求二项展开式的指定项或指定项系数

【例1】已知在(3x-323n)的展开式中，第6项为常数项．

x(1)求n；(2)求含x的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．

探究提高

求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．

（1）.在(x)的二项展开式中，常数项等于________．

（2）.(12x)(2x)展开式中x的系数为________．

1 3422x6

题型二

求最大系数或系数最大的项

【例2】已知(x2n*)(n∈N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1. 2x求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．

探究提高

展开式的系数与展开式的二项式系数是不同的概念，二项式系数最大的项与系数最大的项也是不同的概念，解题时要注意辨别．

若二项式(x3x2)n

的展开式中，只有第6项的系数最大，求二项式(x3x2)n1的展开式中的系数最小的项

题型三：用赋值法求展开式中指定系数的和

727【例3】已知(1－2x)＝a＋ax＋ax＋…＋ax. 0127求：(1)a＋a＋…＋a；(2)a＋a＋a＋a；(3)a＋a＋a＋a. 12713570246

探究提高求关于展开式中系数和问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如1，－1，…. 设(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：

(1)a0；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(3)(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.

方法与技巧

kn－kk1．

二项展开式的通项Tk＋1＝Cnab是展开式的第k＋1项，这是解决有关问题的基础．

2．

求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．

3．

因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．

2

失误与防范

kn－kk1．

通项Tk＋1＝Cnab是展开式的第k＋1项，而不是第k项，要把“二项式系数”与“系数”区别开来．

2．

求通项公式时常用到根式与幂指数的互化，易出错．

(时间：35分钟) 2151．

在2x－的二项展开式中，x的系数为

x

(

) A．10

B．－10

C．40

D．－40 n562． (1＋3x)(其中n∈N且n≥6)的展开式中x与x的系数相等，则n等于(

) A．6

B．7

C．8

D．9 3．

在(x21n)的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 (

) 3xA．－7

B．7

C．－28

D．28 x－x64． (4－2)(x∈R)展开式中的常数项是

(

) A．－20

B．－15 C．15

D．20 5255．若将函数f(x)＝x表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)＋…＋a5(1＋x)，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________. 6．x(1x)4x2(12x)8展开式中x的系数为_________。

11n7．若x＋的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中2的系数为________．

4xx8．已知(1－2x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a7x. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.

1n9．已知＋2x，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开2式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

727

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