总复习多媒体教案及点评

遇见有思想的勾股定理

保定市乐凯中学：祖玉红

学情分析：

学生来自普通班，基础较好，有一定的推理能力及运算能力，学生基本掌握了直角三角形的基础知识，初步掌握运用勾股定理解决直角三角形基本问题的常用方法以及开方运算，但是由于利用勾股定理解决的问题都是设计开方开的尽的数，因此学生只是局部的认识勾股定理和实数两个模块。

教学分析：

北师大版八年级上册教材安排先研究勾股定理，然后以勾股定理为基础引入无理数，进而揭示无理数研究的必要性及其历史过程。但是利用勾股定理解决问题的过程中，一般都涉及开方运算，而具体情境中多数是开不尽的。

标准中指出，数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。学生对数学思想方法的认识也是日积月累，不断提升的。

因此，学习第二章实数、第四章一次函数之后，设计了本节课，以便加强代数与几何的联系，使勾股定理与实数两章成为一个

1

整体，落实数学的核心素养，进一步渗透数学思想，逐步提高学生对数学思想方法的认识，发展学生分析问题和解决问题的能力。

教学目标：

1.掌握利用勾股定理解决问题的策略。

2.在利用勾股定理解决问题的过程中，感悟数学思想，发展分析问题、解决问题的能力。

3.通过本节课的学习，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象的数学核心素养。

教学重点: 1.掌握利用勾股定理解决问题的策略。

2.在利用勾股定理解决问题的过程中，感悟数学思想，发展数学核心素养。

教学难点: 在利用勾股定理解决问题的过程中，感悟数学思想，发展数学核心素养。

教学过程：

开场语：伴随同学们和谐而坚定的游戏，开始我们今天的幸福之旅，旅途中我们将会遇到有思想的勾股定理，让我们一起感悟！

一、最强大脑

2

师：我们研究直角三角形是从哪些角度研究的？

生：定义、性质、判定

师；一般的，我们研究一个基本图形是从定义、性质、判定三个方面展开研究。

现在想一想学习了直角三角形的哪些具体内容？

生：……

师：我们在研究其性质和判定都是从角的角度和边的角度进行的，在后续的学习过程中，我们还会从边与角的关系进一步研究直角三角形的其他性质。

本节课，我们主要复习勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，定理的本身实现了由“形”的特点与三边“数”的关系的结合，因此不管是在定理本身的证明还是在定理的应用都经常运用到数形结合的思想。

设计意图：回顾已有直角三角形的相关内容，揭示研究基本图形的一般思路。有利于学生进行自主学习和研究，这也是帮助学生提高探究能力，提高数学素养的重要途径。

二、做中感悟（一）

1.

如图，点E在正方形ABCD内，

满足∠AEB=90°，AE=5，BE=6，则阴影部分的面积是 .

3

生：观察图形，发现S阴影部分= S正方形ABCD - S△ABE ，

因为△ABE是直角三角形，利用勾股定理可以求出AB2=AE2+BE2=61，所以S正方形ABCD = 61 ，又可以求出 S△ABE= 15，所以 S阴影部分= 61-15=46。

师：观察图形，找到解决问题的关键求出AB2

，将数形有效的结合。

2.

如图，有一圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子到B点，正好B点在A点的正上方，已知油罐的底面周长为12 m，高AB为5 m，则所建梯子最短需要 米。

生：由于梯子沿圆柱表面环绕，解决这个问题，可将圆柱侧面展开，得到展开图，在直角三角形ABC中，由勾股定理可以得到AB=13，即所建梯子最短需要13米。

4

师：解决此类问题的关键是将立体图形转化为平面图形，同时注意确定展开图中A、B两点的相应位置。

3.

若直角三角形的三边长分别是6，8，x ，

则 x = . 生1：答案为10. 生2：不同意，题目中没有明确x是斜边，还是直角边，所以要分类。两种情况

师：非常棒！当题目中的条件不确定时需要分类讨论。

设计意图：设计一组直接利用勾股定理解决已知直角三角形的两边求第三边的边长的题目，在解决问题的过程中，体会代数与几何的联系，感悟数形结合、转化、分类的思想方法，发展学生分析、解决问题的能力。

三、智慧锦囊（一）

回顾以上三个题目有什么共同特点？

生 ：先独立思考再交流展示。

生1：都是已知直角三角形的两边求第三边的边长。

生2：都是利用勾股定理。

师：题目特征：已知直角三角形的两边求第三边的边长。

解题策略：直接利用勾股定理。

5

利用勾股定理，我们不仅可以得到一边的平方，我们还通过开方运算进而得到一边的长。

设计意图：总结解决问题的一般策略，加强代数与几何的联系，体会勾股定理与实数两章的整体性，培养学生及时梳理、总结的习惯。

四、眼疾手快

如图，由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为 5

的线段（ ）条．

生：8 师：你是如何得到的？

生：我们看，要想得到长度为

5

的线段，就要借助小方格，利用勾股定理可以得到斜边长为5，这样的直角三角形最多有8个，因此长度为5的线段最多有8条。

师：构造直角边为1和2的直角三角形，是解题的关键。

设计意图：激发学生探索的兴趣，揭示解决问题的关键是构造直角三角形，为下面的环节做好铺垫。

6

五、做中感悟（二）

1.如图，为了测量旗杆AB的高度，可以利用从旗杆顶端垂下的绳子，当绳子垂直地面时，量得绳子比旗杆多1m，将绳子拉直到地面的C点，测得CB的长为5m，求旗杆AB的高度．

生：（板书）

解：设旗杆AB的高度为xm，

在Rt△ABC中，

由勾股定理得 AC2=AB2+BC2 则（x+1）2=x2+52

解得 x=12 答：旗杆AB的高度为12m. 生：点评

师：当已知一边及另两边的关系，将其中一边设为未知数,利用勾股定理建立方程求解。

2.如图，RtΔABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将ΔABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN .

7

生：思考：

(1)折叠过程中，你发现了什么 ? (2)题中已知什么,求的是什么 ? (3)观察BN在哪一个直角三角形中,你能表示出这个三角形的每条边吗 ? 生1：回答思考问题。

生2：口述并展示解答过程。

设BN=x 由折叠的性质可得DN=AN=9-x ∵D是BC的中点

∴BD=3 在Rt△ABC中

x2+32=（9-x）2

解得x=4 故线段BN的长为4．

师：规范解题过程。

设计意图：设计一组利用勾股定理做等量关系解决已知直角三角形一边及两边关系求未知边长的题目，激活学生的数学思考，是学生

8

在已有知识的基础上，在最近发展区内的自然的思考与发展。感悟数形结合、方程的思想方法，发展学生分析、解决问题的能力。

六、智慧锦囊（二）

回顾以上三个题目有什么共同特点？

生 ：先独立思考再展示交流。

生1：都是利用勾股定理。

生2：都是列方程。

生3：都是已知直角三角形一边及另两边的关系,求未知边长。

师：题目特征：已知直角三角形一边及另两边的关系,求未知边长。

解题策略：用勾股定理做等量关系列方程。

当然两个题目，也都是通过构造直角三角形，利用勾股定理，找到所需要的量以及各个量之间的关系，在已知量与未知量之间建立方程关系。

设计意图：总结解决问题的一般策略，进一步培养学生及时梳理、总结的习惯。

七、我与争锋

一个长方体盒子长、宽、高分别为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？

9

思考：蚂蚁由A爬到B过程中最短的路线有多少种情况？ B

生：独立思考，交流展示。

A

生1：蚂蚁由A爬到B过程中最短的路线有3种情况。

（1）经过前面和上底面

（2）经过前面和右面

（3）经过下底面和右面

生2：展示解答过程。

师：规范过程

总结规律，沿着最长的棱展开，路线的长度最短。

设计意图：巩固提高，在解决问题的过程中，体验数形结合、转化、分类等思想方法，发展学生综合分析问题、解决问题的能力。

八、归纳总结

设计意图：通过有意识地引导学生回顾学习过程，梳理本节课所学知识，体会数学思想方法。

九、课后链接

A

C

B

1.若直角三角形两条直角边分别是3,4. 则阴影部分的面积是 .

10

2、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．

（1）A点的坐标是 ，B点的坐标是 . （2）求AB的长和点C的坐标；

（3）求直线CD的解析式．

3.乐凯中学有一块三角形劳动基地，量得两边长分别为40m，50m，第三边上的高为30m，请你帮忙计算这块劳动基地的面积（结果保留根号）。

设计意图：反馈教学巩固提高，关注不同层次的学生。

结束语：感恩相遇，感恩陪伴，让我们相约下一段旅程！

教学反思：

本节课从以下几个方面培养和落实数学的核心素养。

一、渗透数学思想。

史宁中教授认为“数学核心素养”就是数学基本思想的具体表现。本节课以勾股定理的应用为载体，挖掘每道题目中蕴含的数学思想。一个数学思想的形成需要经历一个从模糊到清晰，从理解到应用的长期发展过程，需要在不同的数学内容教学中通过提炼、总结、理解，应用等循环反复的过程逐渐形成，学生只有经历这样的

11

过程才能悟出数学知识技能中蕴含的数学思想。关注思想方法，不仅会对数学思维活动，数学审美活动起着指导作用，其重要性不言而喻。

二、整体把握研究对象的基本套路。

本节课在“最强大脑”环节，教师提问“我们研究直角三角形是从哪些角度研究的？”学生回答“定义、性质、判定”后，教师明确：一般的，我们研究一个基本图形，从定义、性质、判定三个角度展开研究。当学生回忆完直角三角形的具体内容后，教师引导学生研究一个基本图形的性质和判定，从构成的主要元素（边、角）和相关元素进行探索。注重了教学中的通性通法，发挥一般观念的引领作用，当学生独立面对一个数学对象时，学会如何研究一个数学对象，研究内容、思路和方法是什么。

三、积极的情感与评价。

正如本节课第一张PPT中所言，“数学的学习宛若一场幸福的旅

行。”课堂中有知识，有方法，有合作，有责任，有创新……，和谐的游戏、鼓励的掌声、肯定的手势、真诚的点赞、赞许的眼神、期许的微笑等等，师生共同体验了一段有温度的幸福旅行。

纵观本节课，“数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象”等核心素养在不同的题目中有不同的体现，而且同一个

12

题目中同时涉及多个核心素养，我深深地懂得：数学核心素养的培养不是一蹴而就的，需要我们教师的持之以恒。在以后的教学中，我将继续有意识的培养和落实数学的核心素养。

13