5 应用二元一次方程组—里程碑上的数优秀教案设计

5. 应用二元一次方程组——里程碑上的数

一、学生分析

学生的知识技能基础：七年级时，学生已经学习了一元一次方程及其应用。本章中，学生又学习了二元一次方程、二元一次方程组、列二元一次方程组解应用题等，能熟练地解二元一次方程组，已初步具备了用方程组刻画实际问题的经验和基础，能正确地分析和理解题意，寻求题中的各种数量关系，具备了继续学习本节内容的知识和能力。

二、教学任务分析

地位和作用：本节内容是在学生学习了二元一次方程组的解法和部分二元一次方程组的应用后，紧接着学习的有关数字问题的应用题。这部分内容的学习，有助于加深学生对数字问题的理解，进一步掌握列方程组解应用题的方法（相等关系），提高学生解决实际问题的能力。本节课的教学目标为：

知识与技能:归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤．

过程与方法:让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型．

情感、态度与价值观：在解决问题过程中，学会借助图表分析问题，感受化归思想。让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气．

三、教学过程分析

本课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入，新课讲解；第三环节：练习提高；第四环节：合作学习；第五环节：学习反思；第六环节：布置作业。

第一环节

知识回顾

１．一个两位数的十位数字是ｘ，个位数字是ｙ，则这个两位数可表示为：１０ｘ＋ｙ.

２．一个三位数，若百位数字为ａ，十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这个三位数为：１００ａ＋１０ｂ＋ｃ. ３．一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个三位数，则这个三位数可表示为：１００ａ＋ｂ. ４．ａ为两位数，ｂ是一个三位数，若把ａ放在ｂ的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为：

１０００ａ＋ｂ. 第二环节

情境引入

1．情景展示。

小明星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行驶，根据动画中的情景，你能确定他在１２：００看到的里程碑上的数吗？

１２：００是一个两位数，它的两个数字之和为７；

１３：００十位与个位数字与１２：００所看到的正好颠倒了；

１４：００比１２：００时看到的两位数中间多了个０．

分析：设小明在１２：００看到的数十位数字是ｘ，个位数字是y，那么

时刻

１２：００

１３：００

１４：００

百位数字

x 十位数字

x

y

0 个位数字

y

x

y 表达式

10x+y

10y+x

100x+y 相等关系：１．１２：００看到的数，两个数字之和是７：x＋y＝７.

２．路程差：

１２：００－１３：００：（１０y＋x）－（１０x＋y），

１３：００－１４：００：

（１００x＋y）－（

１０y＋x），

路程差相等：

（１０y＋x）－（１０x＋y）＝

（１００x＋y）－（

１０y＋x）. 根据以上分析，得方程组

x＋y＝７

，

（１０y＋x）－（１０x＋y）＝

（１００x＋y）－（

１０y＋x）. 解方程组

x＋y＝７，

（１０y＋x）－（１０x＋y）＝

（１００x＋y）－（

１０y＋x）. 整理得

x＋y＝７，

x = 1

，

y＝６x.

解得

y =6.

因此，小明在１２：００时看到的里程碑上的数是１６．

提示：要学会在图表中用含未知数的代数式表示出要分析的量；然后利用相等关系列方程。

（1）对较复杂的问题可以通过列表格的方法理清题中的未知量、已知量以及等量关系，这样，条理比较清楚．

（２）借助方程组解决实际问题．

4．变式训练

师生共同研究下题：

有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小４５；又知百位数字的９倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小３，试求原来的３位数．

分析：数字问题中，设未知数也很有技巧，此问题中由十位数字和个位数字组成的两位数是一个“整体”，可设为一个未知数y，百位数设为x：

原数

新数

百位数字

x

y

十位数字

个位数字

表达式

100 x

+ y

10 y + x

y

x

相等关系：１．原三位数－４５＝新三位数 ２．９百位数字＝两位数－３

解：

设百位数字为x，由十位数字与个位数字组成的两位数为y，根据题意的得：

１００x＋y＝１０y＋x，

９x＝y－３.

解得

x＝４，

y＝3９. 答：原来的三位数是４３９．

第三环节

练习提高

1．李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上

的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字是18 。

分析：设李刚在７：００看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么

时刻

７：００

８：００

９：００

十位数字

个位数字

表达式

１０x＋y

１０y＋x

８（１０x＋y）

x

y

y

x

2．选一选

小颖家离学校4800米，其中有一段为上坡路

，另一段为下坡路。她跑步去学校共用了30分。已知小颖在上坡时的平均速度是6千米/时，下坡时的平均速度是12千米/时。问小颖上、下坡各多少千米？

Ａ．1.2，3.6； Ｂ．1.8，3； Ｃ．1.6，3.2．

分析：本题间接设未知数更简洁. 解：设上坡x时，下坡y时，据题意得：

6x+12y=4.8 ，

x＋y＝0.5. 解之得

x＝0.2，

y＝0.3. 选Ａ。

0.261.2,0.3123.63．列方程

CIN公司第二季度进出口总额是９８０万元，第二季度进口额比一季度增长了３９％，出口额增长了４１％，进出口总额增长了４０％，第二季度的进，出口额分别是多少？

分析：设第二季度的进口额为x万元，出口额为y万元：

一季度

二季度

进口额

出口额

进出口总额

xy980

139%141%140%x

y

９８０

xy980+=，

139%141%140%x + y =980. 若设第一季度的进口额为x万元，出口额为y万元，则：

一季度

二季度

进口额

x

（１＋３９％）

x

y

（１＋４１％） y

出口额

进出口总额

９８０÷（１＋４０％）

９８０

X＋y＝

９８０÷（１＋４０％）， （１＋３９％）x＋（１＋４１％）y＝９８０. 根据学生设不同未知数出现不同的方程组，若没有考虑到另一种设法，教师给予补充。

第四环节

合作学习

现实生活和数学学习中，有许多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题．

x＋y＝２，

５x－y＝１０.

学生分组进行编题和互评，然后每组请一个同学将本组评选出的编的最好的应用题向全班同学汇报。（评选方法：切合实际、联系生活、有想象力并且正确无误）

第五环节

学习反思：

１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．

２．这种处理问题的过程可以进一步概括为：

分析

求解

问题

方程（组）

解答

抽象

检验

３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，设间接未知数可帮助转化问题，还可运用化归等数学思想方法，应根据具体问题灵活选用．

第六环节

布置作业

1．甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数．

2．某车间每天能生产甲种零件600个，或者乙种零300个，或丙种零件500个，甲、乙、丙三种零件各1个就可以配成一套，要在63天内生产中,使生产的零件全部成套，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？

3．请你寻找一个利用化归的思想方法解决数学问题的实例．

四、教学反思

列方程解应用题的分析方法多种多样，本课继上一节增收节支继续介绍分析数字等问题的一种比较有效的方法——图表分析法。本节课除了要解决数字问题外，在设元的技巧上加以引导，如变式练习中设三个未知数无法解决的问题，可以转化为通过视为整体设两个未知数解决；同时在练习2，3中选择直接未知数和间接未知数列方程，比较设未知数的思维难度和计算难度，然后进行优化选择，这样可以培养学生多种思维方式，突破难点.数学思想方法是数学学习的灵魂。教学中注意关注蕴含其中的数学思想方法（如化归方法）的揭示，如果教学时间允许，可以专门介绍化归思想及其运用，这样既可提高学生的学习兴趣，开阔视野，同时也提高学生对数学思想的认识，提升解题经验。