正弦、余弦、正切函数的简单应用国家优质课一等奖

第2课时

与方向角、坡角有关的解直角三角形应用题

1.能运用解直角三角形解决航行问题. 2.能运用解直角三角形解决斜坡问题. 3.理解坡度i=坡面的铅直高度=tan坡角. 坡面的水平宽度

阅读教材，自学“例5”和“归纳”，掌握利用解直角三角形的知识解决方位角的实际问题. 自学反馈

独立完成后小组内交流

①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: a.将实际问题抽象为数学问题，画出图形，转化为解

的问题；

b.根据条件的特点，适当地选用

去解直角三角形；

c.得到数学问题的答案；

d.最后得到

问题的答案. ②已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的

方向.

活动1

小组讨论

例1

如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？

解:如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D. 在Rt△ABD中,∵tan∠BAD=∴BD=AD·tan55°. 在Rt△ACD中,∵tan∠CAD=BD, ADCD, AD∴CD=AD·tan25°. ∵BD=BC+CD, ∴AD·tan55°=20+AD·tan25°. ∴AD=20≈20.79>10. tan55tan25

应先求出点A距BC的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险

∴轮船继续向东行驶,不会遇到触礁危险.

活动2

跟踪训练(独立完成后展示学习成果)

如图所示，A、B两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据:3≈1.732,2≈1.414)

直角三角形.

阅读教材P77练习2，自学关于坡度的问题，弄懂坡度与坡角的实际意义，理解铅垂高度与水平宽度的实际意义. 自学反馈

独立完成后小组内交流

①拦水大坝的横断面为梯形，其中坡度i是指

与

的比，这个值与坡角的

值相等. ②坡度i一般写成1∶m的形式，坡度i的值越大，表明坡角越

，即坡越陡. ③已知一大坝的坡角为45°，则它的坡度i的值等于

.

数学问题.

活动1

小组讨论

例2

如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i′=1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到0.1 m)

通过书上的例题掌握“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的方法来解决一些实际和

解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解

解:如图,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F, 在Rt△ABE和Rt△CDF中,BE1CF1=,=, AE3FD2.5∴AE=3BE=3×23=69(m),FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m). ∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m). ∵斜坡的坡度i=∴1≈0.333 3, 3BE=0.333 3,即tanα=0.333 3. AEBE=sinα, AB∴α≈18°26′. ∵

∴AB=BE23≈≈72.7(m). sin0.3162

这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分割，分割成特殊的四答:斜坡AB的坡角α约为18°26′,坝底宽AD为132.5 m,斜坡AB的长约为72.7 m.

边形和直角三角形. 活动2

跟踪训练

如图，已知在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400 m到点D处，测得点A的仰角为60°，求出AB的高度.

第2小题，要过点D作AB和BC的垂线，构造两个直角三角形和一个矩形，将AB分成两段来求. 活动3

课堂小结

1.本节学习的数学知识:利用解直角三角形的知识解决实际问题. 2.本节学习的数学方法:数形结合的思想和数学建模的思想.

教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.

【预习导学1】

自学反馈

①直角三角形

锐角三角函数等

实际

②北偏东40°

【合作探究1】

活动2

跟踪训练

过点P作PD垂直AB于点D，可求得PD≈63.4 m>50 m，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区. 【预习导学2】

自学反馈

①坡面的铅垂高度

它的水平宽度

正切

②大

③1 【合作探究2】

活动2

跟踪训练

AB=(2003+200)m