1.不等式的基本性质教学目标设计

课题

名称

[选修4-5 不等式的基本性质教学设计

知识与技能目标

1.理解不等式的性质，能灵活运用不等式的性质；

2.掌握比较两个实数大小的一般步骤；

过程与方法目标

通过对不等式的性质的学习，了解不等关系的一般思维过程和处理技巧；

情感态度与价值观目标

了解不等关系与现实世界的关系，知道不平衡不稳定才是常态，理解稳定与微妙的平衡是难得的，珍惜现实中的稳定与平衡。

重点：理解不等式的性质，能灵活运用实数的性质

难点：灵活运用不等式的性质

三

维

目

标

重难点

新课教学：

一、复习回顾相关知识

1．实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系

(1)设a，b∈R，则

①a＞b⇔a－b＞0；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔a－b＜0．

(2)设b∈(0，＋∞)，则

aaa①＞1⇔a＞b；②＝1⇔a＝b；③＜1⇔a＜b. bbb2．不等式的基本性质

如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a对称性

＞b⇔b＜a

传递性

可加性

可乘性

那么ac＜bc

乘方

开方

二、新课教学

如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2) nn如果a＞b＞0，那么a＞b(n∈N，n≥2) 如果a＞b，b＞c，那么a＞c．即a＞b，b＞c⇒a＞c

如果a＞b，那么a＋c＞b＋c

如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，

1

x∈R，比较x3－1与2x2－2x的大小．

[精讲详析]

本题考查利用作差法比较两个代数式的大小．解答本题需要将作差后的代数式分解因式，然后根据各因式的符号判断x3－1与2x2－2x的大小．

(x3－1)－(2x2－2x)

＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)

＝x2(x－1)－(x－1)2

＝(x－1)(x2－x＋1)．

133x－＋≥＞0，

∵x－x＋1＝24422∴当x＞1时，(x－1)(x2－x＋1)＞0.即x3－1＞2x2－2x；

当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0，即x3－1＝2x2－2x；

当x＜1时，(x－1)(x2－x＋1)＜0，即x3－1＜2x2－2x.

——————————————————

．

(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．

(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论．

x12x2＋＋1与x＋·1．x∈R，比较(x＋1)22(x＋x＋1)的大小．

xx2＋x＋1－x

x2＋＋1＝(x＋1)·解：因为(x＋1)22x＝(x＋1)(x2＋x＋1)－(x＋1)，

2

2

x＋1(x2＋x＋1)＝x＋1－1(x2＋x＋1)

221＝(x＋1)(x2＋x＋1)－(x2＋x＋1)．

211x2＋x＋1－x＋(x2＋x＋1)

∴作差，得(x＋1)22x111＝(x＋1)(x2＋x＋1)－(x＋1)－(x＋1)(x2＋x＋1)＋(x2＋x＋1)＝(x2＋x＋1)－(x2＋x)＝22221＞0，

2x1x2＋＋1＞x＋(x2＋x＋1). ∴(x＋1)22

下列命题中正确的是(

) (1)若a＞b，c＞b，则a＞c；

a(2)若a＞b，则lg＞0；

b(3)若a＞b，c＞d，则ac＞bd；

11(4)若a＞b＞0，则<；

abab(5)若＞，则ad＞bc；

cd(6)若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c. A．(1)(2)

B．(4)(6) C．(3)(6)

D．(3)(4)(5) [精讲详析]

本题考查对不等式的性质的理解，解答本题需要利用不等式的性质或利用特殊值逐项判断．

(1)错误．因为当取a＝4，b＝2，c＝6时，有a＞b，c＞b成立，但a＞c不成立．

aa(2)错误．因为a、b符号不确定，所以无法确定＞1是否成立，从而无法确定lg＞0bb是否成立．

(3)错误．此命题当a、b、c、d均为正数时才正确．

(4)正确．因为a＞b>0，

111所以ab＞0，两边同乘以，得＜.

abab

3

(5)错误．只有当cd＞0时，结论才成立．

(6)正确．因为c＞d，所以－d＞－c，又a＞b，

所以a－d＞b－c.综上可知(4)(6)正确．

答案：B ——————————————————

运用不等式的性质时要注意条件，如倒数法则要求两数同号；两边同乘一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．

112．(广州二模)设a，b为正实数，则“a

) abA．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：选C

若a0，b>0，

1111则>⇒－<－，

abab1111∴a－

abab且a>0，b>0⇒a2b－b

<0⇒(a－b)(ab＋1)<0⇒a－b<0⇒a

已知60＜x＜84，28＜y＜33.求

(1)x－y的取值范围；

x(2)的取值范围．

y[精讲详析]

本题考查不等式性质的灵活应用．解答问题(1)需要先求出－y的取值范围，1然后利用不等式的同向可加性解决；解答问题(2)需要先求出的取值范围，然后利用不等式y的有关性质求解．

∵28＜y＜33，

4

111∴－33＜－y＜－28，＜＜.

33y28又60＜x＜84，

60x8420x∴27＜x－y＜56，＜＜.即＜＜3. 33y2811y——————————————————

本题不能直接用x的范围去减或除y的范围，应严格利用不等式的基本性质去求得范围，其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求512x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，两22范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能

再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．

3．若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．

解：法一：∵f(x)过原点，

∴可设f(x)＝ax2＋bx.

f（1）＝a＋b，∴

f（－1）＝a－b.1a＝[f（1）＋f（－1）]，2∴

1b＝[f（1）－f（－1）].2∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．

∵1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4.

∴6≤f(－2)≤10.

法二：设f(x)＝ax2＋bx，

则f(1)＝a＋b，f(－1)＝a－b.

令m(a＋b)＋n(a－b)＝f(－2)＝4a－2b，

m＋n＝4，m＝1，∴∴

m－n＝－2.n＝3.

5

∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．

∵1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，∴6≤f(－2)≤10.

本课时考点主要考查不等式的性质，全国高考乙卷将不等式的性质及函数的单调性结合命题，是高考命题的一个新亮点．

(全国乙卷)若a>b>1，0

) A．ac

B．abc

C．alogbc

D．logac

[命题立意]本题考查不等式性质在比较实数大小中的应用．

[解析]

选C

∵y＝x，α∈(0，1)在(0，＋∞)上是增函数，

∴当a>b>1，0bc，选项A不正确．

∵y＝x，α∈(－1，0)在(0，＋∞)上是减函数，

∴当a>b>1，0

ac1bac，选项B不正确．

－－αα∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，∴alg a>blg b>0，

∴∴ab>.又∵0

lg blg aalg cblg c<，∴alogbc

lg blg a同理可证logac>logbc，选项D不正确．

6

课后巩固练习

一、选择题

111．(浙江高考)若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的(

) baA．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

1解析：选A

对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜成立，如果a＜0，则b＜0，bb111＞成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论aba1111“a＜或b＞”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜或b＞”的baba11必要条件；即“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分而不必要条件．

ba2．已知a，b，c∈R，且ab＞0，则下面推理中正确的是(

) abA．a＞b⇒am2＞bm2

B.＞⇒a＞b

cc11C．a3＞b3⇒＜

D．a2＞b2⇒a＞b

ab解析：选C

对于A，若m＝0，则不成立；对于B，若c＜0，则不成立；对于C，a3－b3＞0⇒(a－b)(a2＋ab＋b2)＞0，

b3a＋2＋b2＞0恒成立，

∵a2＋ab＋b2＝24∴a－b＞0，∴a＞b.

11又∵ab＞0，∴＜.∴C成立；

ab对于D，a2＞b2⇒(a－b)(a＋b)＞0，不能说a＞b. 3．已知a＜0，－1＜b＜0，那么(

) A．a＞ab＞ab2

B．ab2＞ab＞a

C．ab＞a＞ab2

D．ab＞ab2＞a

解析：选D

ab2－ab＝ab(b－1)，

∵a＜0，－1＜b＜0，

7

∴b－1＜0，ab>0.∴ab2－ab＜0.即ab2＜ab；

又ab2－a＝a(b2－1)，

∵－1＜b＜0，∴b2＜1，即b2－1＜0.又a＜0，

∴ab2－a＞0，即ab2＞a.故ab＞ab2＞a. 4．如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(

) A．a2＞a＞－a2＞－a

B．－a＞a2＞－a2＞a

C．－a＞a2＞a＞－a2

D．a2＞－a＞a＞－a2

解析：选B

∵a2＋a＜0，即a(a＋1)＜0可得，－1＜a＜0，

∴－a＞a2＞0，∴0＞－a2＞a.

综上有－a＞a2＞－a2＞a. 二、填空题

5．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．

解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．

答案：＞

6．有以下四个条件：

①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0. 11其中能使＜成立的有________个条件．

ab1解析：①∵b＞0，∴＞0.

b111∵a＜0，∴＜0.∴＜.

aab11②∵b＜a＜0，∴＞.

ba1111③∵a＞0＞b，∴＞0，＜0.∴＞.

abab11④∵a＞b＞0，∴＜.

ab

11综上知，①②④均能使＜成立．

ab答案：3 117．给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中能推出logb＜logabb

8

＜logab成立的条件的序号是________(填所有可能的条件的序号)．

111解析：∵logb＝－1，若1＜a＜b，则＜＜1＜b，

bba11∴loga＜loga＝－1，故条件①不可以；

ba11若0＜a＜b＜1，则b＜1＜＜.

ba111∴logab＞loga＞loga＝－1＝logb，

bab故条件②可以；

1若0＜a＜1＜b，则0＜＜1，

b1∴loga＞0，logab＜0，条件③不可以．

b故应填②. 答案：②

8．下列命题：

①c－a＜c－b⇔a＞b；

②a＞b＞0，c＞d＞0⇒a＞db；

ccc③＜，且c＞0⇒a＞b；

abnn④a＜b(n∈N，n＞1)⇒a＜b. 其中真命题是________(填序号)．

解析：①c－a＜c－b⇒－a＜－b⇒a＞b.

ab②a＞b＞0，c＞d＞0⇒＞＞0，

dc∴

a＞

db.

cccc（b－a）③－＝＜0，

ababb－a＞0，b－a＜0，∵c＞0，∴有或

ab＜0ab＞0.a＜b，a＞b，即或∴③不正确，

ab＜0ab＞0.④中无论n为奇数或偶数，

9

nn均可由a＜b(n∈N，n＞1)⇒a＜b.∴①②④正确．

答案：①②④

三、解答题

ππα＋βα－β9．已知－≤α<β≤，求，的范围．

2222πππαππβπ解：∵－≤α<β≤，∴－≤＜，－＜≤.

22424424πα＋βπ因而两式相加得－＜<.

222πβππβπ又∵－＜≤，∴－≤－＜.

424424πα－βπ∴－≤<.

222

α－βπα－β又∵α＜β，∴＜0.∴－≤＜0.

222即α＋βππα－βπ∈－，，∈－，0. 2222211110．已知－＜a＜0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝，D＝，试比较A，B，C，D21＋a1－a的大小．

11解：∵－＜a＜0，不妨取a＝－，可得

24171544A＝，B＝，C＝，D＝，由此猜测

161635C＞A＞B＞D.

1C－A＝－(1＋a2)＝1＋a13a＋＋－a241＋a22，

13a＋＋＞0，∴C＞A.

∵1＋a＞0，－a＞0，24∵A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2＞0，∴A＞B.

a（a2－a－1）1∵B－D＝1－a－＝.

1－a1－a2＝15a－－a241－a2，

1∵－＜a＜0，∴1－a＞0，

2

10

a－1－5＜－1－1－5＜0.

24224∴B＞D.综上，C＞A＞B＞D. 11．已知f(x)＝ax2＋c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．

解：由－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5得：

－4≤a＋c≤－1，

－1≤4a＋c≤5.22v－u4u－v设u＝a＋c，v＝4a＋c，则有a＝，c＝，

3358∴f(3)＝9a＋c＝－u＋v.

33又{－4≤u≤－1，－1≤v≤5，

5520≤－u≤，33358∴∴－1≤－u＋v≤20，

338840－≤v≤.333即－1≤f(3)≤20.∴f(3)的取值范围为[－1，20]．

11