1.3 二项式定理（通用）教学设计第一课时

二项式定理(教学设计) 阳山中学

黄文峰

上课时间：2016年4月19日上午第二节

上课班级：高二（1）班

今天我说课的内容是高二排列、组合和概率（人教版）第十章第四章节《二项式定理》的第一课时：《二项式定理》。下面我就从教材分析、教学目标、教法和学法、教学过程四个方面对本课的教学设计进行说明。

一、教材分析：

1、知识内容：二项式定理及简单应用

2、地位及重要性

二项式定理是安排在高中数学排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及高三选修概率与统计，作知识上的铺垫。二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。

3、教学目标

A、知识目标：

（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律

（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开

B、能力目标：

（1）在学生对二项式定理形成过程的参与、探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力及分类讨论解决问题的能力

（2）培养学生的化归意识和知识迁移的能力

C、情感目标：

（1）通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生解决数学问题的信心； （2）通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生体会到数学内在和谐对称美；

（3）培养学生的民族自豪感，在学习知识的过程中进行爱国主义教育。

4、重点难点：

重点：

（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律；

（2）能够利用二项式定理对给出的二项式进行正确的展开。

难点：二项式定理的发现。

二、教法学法分析

为了达到这节课的目标：掌握并能运用二项式定理，让学生主动探索展开式的由来是关键。“学习任何东西最好的途径是自己去发现”正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”本节课的教法贯穿启发式教学原则，以启发学生主动学习，积极探索为主。创设一个以学生为主体，师生互动、共同探索的教与学的情境。通过复习引入，引申设疑，实验猜想，归纳推广等环节进行对此定理的探索。不仅重视知识的结果，而且重视知识的发生、发现和解决的过程，贯切新课程理念。

另外，根据“近发展区的理论”精心设置问题，调控问题的解决过程培育这节课最佳的知识生长点。

三、教学用具：电脑、投影等多媒体。

四、教学过程

1、情景设置

问题1：若今天是星期一，再过30天后的那一天是星期几？怎么算？

预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少？

问题2：若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？

1

问题3：若今天是星期一，再过8n(nN)天后是星期几？怎么算？

预期回答：将问题转化为求“8n(71)n被7除后算余数”是多少？

在初中，我们已经学过了

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a3+3a2b+3ab2+b3

(提问)：对于(a+b)4，(a+b)5

如何展开?(利用多项式乘法) + (再提问)：(a+b)100又怎么办？

(a+b)n (nN)呢？

+ 我们知道，事物之间或多或少存在着规律。也就是研究(a+b)n(nN)的展开式是什么？这就是本节课要学的内容。这节课，我们就来研究(a+b)的二项展开式的规律性。学完本课后，此题就不难求解了。

（设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。）

2、新授

第一步：让学生展开

n(ab)1ab

(ab)2a22abb2；

(ab)3(ab)2(ab)a33a2b3ab2b3；

(ab)4(ab)3(ab)a44a3b6a2b24ab3b4

(a+b)5 = (a+b)4(a+b) = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

问题1：以(ab)5的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。

预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂、另一字母升幂排列，且两个字母幂指数的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。 初步归纳出下式： (a+b)n = (

)an + (

)an-1b + (

)an-2b2 + …+ (

)bn

（※）

问题2、以上展开式中的各项系数之间有什么关系吗？

教师将以上各展开式的系数整理成如下模型

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1 请你找出以上数据上下行之间的规律。

预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。

练习：展开(ab)

7

2

教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。

（设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）

第二步：继续设疑

如何展开(ab)100以及(ab)n(nN)呢？

（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。）

继续新授

师：为了寻找规律，我们将(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)中第一个括号中的字母分别记成a1,b1；第二个括号中的字母分别记成a2,b2；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：

(ab)4(a1b1)(a2b2)(a3b3)(a4b4)

＝a1a2a3a4

………a

34+a1a2a3b4+a1a2a4b3+a1a3a4b2+a2a3a4b1

………ab +a1a2b3b4+a1a3b2b4+a1a4b2b3+a2a3b1b4+a2a4b1b3+a3a4b1b2

………ab

+a1b2b3b4+a2b1b3b4+a3b1b2b4+a4b1b2b3

………ab

+b1b2b3b4

………b

（设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。）

问题1：以ab项为例，有几种情况相乘均可得到ab项？这里的字母a,b各来自哪个括号？

问题2：既然以上的字母a,b分别来自4个不同的括号，ab项的系数你能用组合数来表示吗？

问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？

（预期答案：

有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b。每个括号只能取一个字母，任取两个a、两个b，然后相乘，问不同的取法有几种？）

问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数（用组合数的形式进行填写）， 2222222234(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)a4a3ba2b2ab3b4

呈现二项式定理

(a+b)n0

n0

n-111

n-222

n-mmmn＝C nab+Cn

ab+Cnab+…+Cnab+…+C

n

0n

ab(nN) +3、深化认识

请学生总结：

3

①二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？

②二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？

由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。

（设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。）

4、巩固应用

1.求(x+ 5)的展开式.

505)=C

5

x(

401)+C5

x(解:(x+ 123)+C

5

x(5

)2)+ 32

C

5

x(341)+C

5

x(

450)+C5

x(53

＝x+5x+10x+10.2.求(+ +5.+

)10的二项展开式的第6项.

5解：T6=T5+1=C10(3.求(x- 5)(55)=C10

=252 93)的二项展开式中x的系数.解：展开式的通项为

9-mm

Tm+1=C9x(- )=(-1)C9xmmm

9-2m

根据题意，有

9-2m=3 解得

m=3 因此，x3的系数为

333

. ( -1) C =(-1)84 = -84 974.求(1+2x)的二项展开式中，第4项的系数和第4项的二项式系数. 7解：

(1+2x)

的二项展开式的第4项为

T3+1= C

3

1(2x)77-33

所以第4项的二项式系数为C 3

=35 7

第4项的系数为C 3

.

8＝280 75.解决起始问题：今天是星期一，再过8n天后的那一天是星期几？

n-12n-2nnn

n1

-1n…解：

8

＝(7+1)=C

07+C7+C

7++C

7+C

nn

nn

n

因为C

n前面各项都是7的倍数，故都能被7整除. n

4

因此余数为C

n

n=1 所以应为星期二

说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。

四、课堂小结

①本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。

②二项式定理的表达式以及展开式的通项，

③要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，

五、布置作业（略）

五、回顾小结：

通过学生主动探索的学习过程，使学生清晰的掌握二项式定理的内容，更体会到了二项式定理形成的思考方式，为后继课程（n次独立重复实验恰好发生k次）的学习打下了基础。

而二项式定理内容本身对解释二项分布有很直接的功效，因为二项分布中所有概率和恰好是二项式

。 课后记：

准备这节课，我主要思考了这么几个问题：

（1）这节课的教学目的“使学生掌握二项式定理”重要，还是“使学生掌握二项式定理的形成过程”重要？我反复斟酌，听取了备课组老师们的意见，认为后者重要。于是，我这节课花了大部分时间是来引导学生探究“为什么可以用组合数来表示二项式定理中各项的二项式系数？”

（2）学生怎样才能掌握二项式定理？是通过大量的练习来达到目的，还是通过学生对二项式定理的形成过程来记忆？正如前面所说“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”。我还是要求学生自主的去探索二项式定理。这样也符合以教师为主导、学生为主体、师生互动的新课程教学理念。

（3）准备什么样的例题？例题的目的是为了巩固本节课所学，例题1是很直接的二项式定理内容的应用；为了更好的让学生体会到二项式定理形成过程中的思考问题的方式，并培养学生知识的迁移能力，我增加了例题,但是难免还有一些有不足之处，希望各位老师能不吝赐教。谢谢！

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