复习参考题优秀教学设计

利用基本不等式求最值

高平一中 杜晓军

一、学习目标：

1、理解利用基本不等式求最值的原理

2、掌握利用基本不等式求最值的条件

3、会用基本不等式解决简单的最值问题

二、学习重点与难点：

重点：运用基本不等式求最值

难点：利用基本不等式求最值满足的条件

三、学习方法：自主探究式

四、学习过程：

1、探究一：极值定理

问题1：利用不等式abab(a,bR)，已知xy2(x0,y0)，你能求出2xy

的最小值吗？何时取小值？

ab(a,bR)，已知xy2(x0,y0)，你能求2：利用不等式ab2出xy

的最大值吗？何时取大值？

问题问题3：已知x0,y0

（1）若xy是定值p，求(xy)min，等号何时成立？

（2）若xy是定值s，求(xy)max，等号何时成立？

问题4：你能由问题1—3得出一般结论吗？已知x,yR

则：（1）若积xyp（定值），则和xy有最小值2p

当日仅当xy时，取“=”号

s2（2）若和xys（定值），则积xy有最大值

4当日仅当xy时，取“=”号

即：“积为常数，和有最小值；和为常数，积有最大值”。

自主练习1：①若x0时，求yx的最小值. 1x1②若x1，求yx的最小值. x1③若0x1，求yx(1x)的最大值. 1x2、探究二：利用基本不等式求最值满足的条件

问题5：若x0，求yx的最大值。

条件1：由问题5，你能总结出利用基本不等式求最值时字母必须满足什么条件？

1

x2x1自主练习2：若x0，求y的最大值。

x1问题6：①若x2，求y2x5的最小值。

x21②若0x，求yx(12x)的最大值。

2条件2：由问题6，你能总结出利用基本不等式求最值时必须满足什么条件？

1(x1)的最小值。

x11②求yx(14x)(0x)的最大值。

41问题7：若x2，求yx的最小值。

x自主练习3：①求yx条件3：由问题7，你能总结出利用基本不等式求最值时必须满足什么条件？

自主练习4：求ysinx2(0x)的最小值。

sinx2问题8：你能由问题5—7总结出利用基本不等式求最值必须满足的三个前提条件吗？

3、探究三：简单运用

问题9：（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

【解】（1）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy100m2，篱笆的周长为xyxy可得xy2100，2(xy)40

2xy当日仅当xy40时，等号成立。

xy100所以，这个矩形的长，宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是2(xy)m，由40m. （2）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(xy)36, xy18，矩形菜园的面积为xym2

xy得xy9即xy81

2xy当且仅当xy9时，等号成立. xy18所以，这个短形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面由xy积是81m2. 问题10：你能从问题9中举例说明极值定理和必须满足的三个前提条件

2

吗？

4、探究四：收获和感想

收获：利用基本不等式求最值，主要是运用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”。且必须满足三个前提条件，“一正二定三相等”，即“一正”——字母为正数；“二定”——积或和为定值（有时需通过“配凑法”凑出定值）；“三相等”——等号能否取到，三个条件缺一不可。

感想：自主探究的“若”与“乐”；数学思维的严密性与开放性。

5、探究五：自我反馈与矫正

1x (x3)的最小值. x3（2）求yx(x) (0x)的最大值. 12（3）求y3x (x0)的最大值. x（1）求y6、探究六：课后练习与作业

x28 (x1)的最小值. x119（2）若x,yR且1,求xy的最小值. xy15（3）求y2x152x (x)的最大值. 22x23（4）求y的最小值. 2x2（1）求y

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