2.2.2 反证法优秀教学设计

2.2.2

反证法

[学习目标]

1.了解反证法是间接证明的一种方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.

知识点一

间接证明

不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明. 常见的间接证明的方法是反证法. 知识点二

反证法

1.反证法定义

假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等. 3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：

结论词

反设词

结论词

反设词

结论词

反设词

思考

这种说法对吗？为什么？

(2)反证法主要适用于什么情形？

答案

(1)这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题.命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对. 至少有一个

一个也没有

(不存在)

只有一个

没有或至

少有两个

都是

不都是

至多有一个

至少有两个

对所有x成立

存在某个x

不成立

一定是

不一定是

至少有n个

至多有

(n－1)个

至多有n个

至少有

(n＋1)个

对任意x不成立

存在某个x成立

p或q 綈p且綈q p且q

綈p或綈q

(1)有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，

(2)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.

题型一

用反证法证明结论否定的问题

例1

如图所示，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：AB，CD不能互相平分. 证明

连接AC，CB，BD，DA，假设AB，CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，

∴∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD. ∵四边形ACBD为圆的内接四边形，

∴∠ACB＋∠ADB＝180°，∠CAD＋∠CBD＝180°，

∴∠ACB＝90°，∠CAD＝90°，

∴对角线AB，CD均为圆的直径，与已知条件矛盾，

∴AB，CD不能互相平分. 反思与感悟

对于结论否定型命题，正面证明需要考虑的情况很多，过程烦琐且容易遗漏，故可以考虑采用反证法.一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明. 跟踪训练1

已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数. 证明

假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数. 左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾. ∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数. 题型二

用反证法证明唯一性问题

例2

用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行. 证明

假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a，又b∥a，由平行公理知b′∥b. 这与b∩b′＝A矛盾，故假设错误，

所以过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行. 反思与感悟

证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法比用同一法更方便. 跟踪训练2

求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直.

已知：平面α和一点P. 求证：过点P与α垂直的直线只有一条. 证明

如图所示，不论点P在α内还是在α外，设PA⊥α，垂足为A(或P).

假设过点P不止有一条直线与α垂直，如还有另一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，∴假设不成立，原命题成立. 题型三

用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题

例3

用反证法证明：如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根.(不考虑重根) 证明

假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实数根，设α，β为它的两个实数根，则f(α)＝f(β)＝0. 因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)＜f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾，

所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根. 反思与感悟

用反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误.还应仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义. 1＋x1＋y跟踪训练3

若x，y都是正实数，且x＋y＞2，求证：＜2与＜2中至少有一个成yx立. 1＋x1＋y证明

假设＜2和＜2都不成立，

yx1＋x1＋y则有≥2和≥2同时成立. yx∵x＞0且y＞0，

∴1＋x≥2y，且1＋y≥2x，

两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，

∴x＋y≤2，这与已知条件x＋y＞2相矛盾，

1＋x1＋y∴＜2与＜2中至少有一个成立. yx

因反证法中的反设不当致误

例4

用反证法证明：若a＞b＞0，则a＞b. 错解

假设a＞b不成立，则a＜b. 若a＜b，则a＜b，与已知a＞b矛盾. 故假设不成立，结论a＞b成立. 错因分析

a＞b的否定应为a≤b，即“大于”的否定是“小于或等于”.同理，“小于”的否定是“大于或等于”，不能漏掉“等于”.因此在用反证法证题时，一定要正确地找出结论的否定，不能犯否定不全的错误. 正解

假设a＞b不成立，则a≤b. 若a＜b，则a＜b，与已知a＞b矛盾；

若a＝b，则a＝b，与已知a＞b矛盾. 故假设不成立. 所以a＞b成立. 易错警示

在利用反证法证明问题时，往往要假设命题结论的反面成立，而问题结论的反面一定要全面，漏掉任何一种情况，证明都是不正确的.

1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设(

) A.三角形中至少有一个直角或钝角

B.三角形中至少有两个直角或钝角

C.三角形中没有直角或钝角

D.三角形中三个角都是直角或钝角

答案

B 2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中(

) A.有一个内角小于60°

C.有一个内角大于60°

答案

B 3.“a

) A.a≠b

C.a＝b

答案

D 4.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(

) A.a不垂直于c

B.a，b都不垂直于c

B.a>b

D.a＝b或a>b

B.每一个内角都小于60°

D.每一个内角都大于60°

C.a⊥b

答案

D D.a与b相交

5.已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数. 证明

(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数. 设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1. ∵4(n2＋n)是偶数，

∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾. 由上述矛盾可知，a一定是偶数.

1.反证法的证题步骤：①反设；②推理归谬；③存真，即假设不成立，原命题成立. 2.用反证法证明问题时要注意以下三点：

(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能性结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的. (2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法. (3) 推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.

一、选择题

1.实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，则正确的说法是(

) A.a，b，c都是0

C.a，b，c中至少有一个为0

答案

D 2.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是(

) ①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾. A.①②

B.①③

C.①③④

D.①②③④

答案

D 3.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(

) A.一定是异面直线

C.不可能是平行直线

答案

C 解析

假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直B.一定是相交直线

D.不可能是相交直线

B.a，b，c都不为0 D.a，b，c不可能均为正数

线.故应选C. 4.有下列叙述：

①“a>b”的反面是“ay或x

) A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

答案

B 解析

①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角. 5.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是(

) A.有两个内角是直角

B.有三个内角是直角

C.至少有两个内角是直角

D.没有一个内角是直角

答案

C 6.若方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是(

) A.(－∞，－2]∪[－1，＋∞)

C.(－∞，1]∪[2，＋∞)

答案

A 1解析

若方程x2＋(a－1)x＋a2＝0有实根，则(a－1)2－4a2≥0，∴－1≤a≤.若方程x2＋2ax3－2a＝0有实根，则4a2＋8a≥0，∴a≤－2或a≥0.∴当两个方程至少有一个有实根时，－11≤a≤或a≤－2或a≥0，即a≤－2或a≥－1. 3二、填空题

7.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误. ②所以一个三角形不能有两个直角. ③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°. 上述步骤的正确顺序为__________.(填序号) 答案

③①②

8.某同学准备用反证法证明如下问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于任1意不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|＜.那么它的反设应该2B.[－2,1]

D.[－2，－1]

是_______________. 1答案

∃x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|且|f(x1)－f(x2)|≥. 29.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________. 答案

存在一个三角形，其外角最多有一个钝角

解析

“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”.

10.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________. 答案

丙

解析

若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙. 三、解答题

11.如图所示，设SA，SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直.

证明

连接AB，假设AC⊥平面SOB. ∵直线SO在平面SOB内，

∴AC⊥SO. ∵SO⊥底面圆O，

∴SO⊥AB，

∴SO⊥平面SAB，

∴平面SAB∥底面圆O. 这显然出现矛盾，故假设不成立，即AC与平面SOB不垂直. 12.已知直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点，是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 解

不存在.理由如下：假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O，则OP⊥OQ.ax－y＝1，设P(x1，y1)，Q(x2，y2).由2消去y，整理得(1－2a2)x2＋4ax－3＝0，∴x1＋x22x－2y＝1，

－4a－3＝，xx＝. 1－2a2121－2a2∵x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(ax1－1)(ax2－1)＝0，

∴(1＋a2)x1x2－a(x1＋x2)＋1＝0，

－3－4a即(1＋a2)·＋1＝0，

2－a·1－2a1－2a2∴a2＝－2，这是不可能的.故不存在满足题设条件的实数a. 113.已知a，b，c∈(0,1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于. 41证明

假设三个式子同时大于，

4111即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，

4441三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>3，①

4又因为0

441所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤3，②

4①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立.