小结教学设计(第二课时)

课题: 《不等式》复习小结

授课类型：复习课

【教学目标】

1．会用不等式（组）表示不等关系；

2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；

3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；

4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；

5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。

【教学重点】

不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下

【教学难点】

利用不等式加法法则及乘法法则解题，基本不等式的应用

【教学过程】

1.本章知识结构

2.知识梳理

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：a>b⇔b

(2)传递性：a>b,b>c⇒a>c

(3)加法法则：a>b⇒a+c>b+c；a>b,c>d⇒a+c>b+d

(4)乘法法则：a>b,c>0⇒ac>bc；a>b,c<0⇒ac

a>b>0,c>d>0⇒ac>bd

(5)倒数法则：a>b,ab>0⇒

b(6)乘方法则：a>b>0⇒a>b(n∈N*且n>1)

(7)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n∈N*且n>1)

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；

作差法

3、应用不等式性质证明

（二）一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的解法

一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集：

设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ=b-4ac，2则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)

二次函数

Δ>0

Δ=0

Δ<0

y=ax2+bx+c

y=ax2+bx+c

y=ax2+bx+c

y=ax2+bx+c

（a>0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

ax+bx+c=02(a>0)的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集x1,x2(x1

x1=x2=b

2a

{xxx}

12bxx≠

2a 

R 

ax2+bx+c<0(a>0)的解集

{xx

12（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

a+b

2a+b≥ab(当且仅当a=b时取"="号).

1、如果a,b是正数，那么2a+b2、基本不等式ab≤几何意义是“半径不小于半弦”

2（四）基本不等式ab≤3.典型例题

1、用不等式表示不等关系

例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。

2.比较大小

(1)（3＋2） ６＋26；

2（2）（3－2）2

（6－1）2；

（3）1

5+221；

6+52(4)当a＞b＞0时，log1a

log1b

(5) (a+3)(a-5) (a+2)(a-4)

3.利用不等式的性质求取值范围

4.如果30≤x≤42,16≤y≤24,则

(1) x+y的取值范围是 , (2) x+2y的取值范围是 , (3) xy的取值范围是 , (4) x的取值范围是 y

5.解不等式：

（1）2x-7x+4≥0；（2）x+8x-3≤0

26.已知关于x的方程(k-1)x+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围

7.二元一次方程（组）与平面区域

22x+y6≥0xy≥0（1）画出不等式组表示的平面区域。

y≤3x<5

（2）求线性目标函数在线性约束条件下的最优解

x+2y≥28.已知x、y满足不等式2x+y≥1,求z=3x+y的最小值。

x≥0,y≥0

9.利用基本不等式证明不等式

（1）已知a、b、c都是正数，求证

（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

分析：对于此类题目，选择定理：解：∵a，b，c都是正数

a+b≥ab（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果. 2

∴a＋b≥2ab＞0 b＋c≥2bc＞0 c＋a≥2ac＞0 ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８abc

即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.

（2）利用基本不等式求最值

10.若x>0,y>0,且

28+=1,求xy的最小值

xy4.评价设计

课本第115页复习参考题[A]组的第1、2、3、4、5、6、7、8题。

【板书设计】