信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响教案评析

2．4．1正态分布

第一课时 内容分析：

1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布，在必修3我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布，但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布

。

2．正态分布是可以用函数形式来表述的，其密度函数可写成：

f(x)1e2(x)222,x(,)， （σ＞0）

由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的，常把它记为N(,2)

。

3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值，从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的

。

4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征

。

6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质，正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何动画让学生了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质

。

教学目标：

知识与技能：掌握正态分布的定义以及正态曲线的性质。

过程与方法：通过观察正态曲线研究正态曲线的性质，体会数形结合的方法，增强观察、分析和归纳的能力.。

情感、态度与价值观：通过经历直观动态的实验，提高学习数学的兴趣。

教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。

教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教具准备：多媒体。

教学过程：

一、复习回顾、共同探究：

频率/组距总体密度曲线观察高尔顿板试验（见PPT动画演示），为了更好地考察随着试验次数的增加。落在每个球槽内的小球分布情况，我们进一步从频率的角度来探究小球的分布规律，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率值为纵坐标，作出频率分布直方图，随着重复次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线（如右图）。这条曲线叫做单位总体密度曲线。

ab它反映了总体在各个范围内取值的概率。根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线与直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积。

二、建构概念、探究图像：

1.正态曲线的定义

观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：

O

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1,(x)e2(x)222,x(,)式中的实数、(0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线。

2.正态分布定义：

一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足P(aXb)(x)dx,则称

X 的分布为a,b正态分布（normal distribution ) 。正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(,2)，即如果随机变量

x

服从正态分布，则记为x～N(,2)。

说明：早在

1733 年，法国数学家棣莫弗在求二项分布的渐进公式中得到了正态分布。之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布。

在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：

在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；

在测量中，测量结果; 在考试中，学生的考试成绩；

在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度

、

以及降雨量等；

总之，正态分布广泛存在于自然界的许多领域中，正态分布在概率和统计中占有重要地位。

（见课本72页）

经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标

X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布。

探究：与的意义(详见PPT动画演示)

若

固定, 曲线随着值的变化而沿x轴平移，故称

为位置参数。

若

固定,大时, 曲线矮而胖；

小时, 曲线瘦而高, 故称



为形状参数。

3．正态曲线的性质：

（1）非负性：曲线在x轴的上方，与x轴不相交

。

（2）对称性：曲线关于直线x=μ对称，曲线成“钟型”。

（3）最值性：当x=μ时，曲线位于最高点，即函数有最大值12

。

（4）单调性：当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）

并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近

。

（5）几何性：参数μ和σ的统计意义:E(x)=μ,曲线的位置由μ决定;D(x)=σ2,曲线的形状由σ决定. 五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学

。

4．标准正态曲线: 正态密度函数f(x)12(x)22e2,x(,)x22中，当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是f(x)12e，（-∞＜x＜+∞）

其相应的曲线称为标准正态曲线。

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三、分析例题、强化重点：

例1．下列函数是正态密度函数的是( ) A.f(x)12122(x)22e2,x(,) B.f(x)2212x2e2,x(,)x2e2,x(,)

C.f(x)(x1)24e,x(,) D.f(x)

例2.标准正态总体的函数为f(x)（1）证明：f(x)是偶函数

（2）求f(x)的最大值

（3）利用指数函数的性质说明12x2e2,x(,)

f(x)的增减性

四、巩固练习：见PPT

五、课堂小结：正态曲线的性质

课堂思考：请尝试从正态分布解析式的角度来分析正态曲线的对称性与最值的情况. 六、课后作业：探究正态曲线下的面积规律---3σ原则

教学反思：

1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布

在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布

但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口

正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布

2．正态分布是可以用函数形式来表述的

其密度函数可写成：

f(x)1e2(x)222,x(,)， （σ＞0）

2由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的

常把它记为N(,)

3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值

从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的

4．通过几组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质

正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质。

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