阅读与思考 九连环教案及板书设计

教学设计

课题：数列求和------裂项相消法

教学目标

1 .掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点. 2.能选择适当的方法求简单数列的前n项和. 教学重难点

重点：裂项相消求和法求数列的前n项和. 难点：在裂项相消求和法中如何“裂项”，裂项相消求和法的应用. 教学过程

一、问题导学

二、新知探究

111我们知道

＝－，试用此公式求和：

nn＋1nn＋1

111＋＋…＋.

1×22×3nn＋11

111解：由＝n－得

nn＋1n＋1111＋＋…＋

1×22×3nn＋1111111＝1－2＋2－3＋…＋n－＝1－.n＋1n＋1

1111*例

求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N.

22－132－142－1n2－1

1111－1∵2＝＝n－1n＋1，

n－1n－1n＋12111111111111－－1

…∴原式＝1－3＋2－4＋3－5＋

＋

n

－

n

＋

1



＝

2

＋

n

－

n

＋

1

212

2n＋13*＝－(n≥2，n∈N)．

42nn＋1

2

引申探究

223242n2*求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N. 2222

2－13－14－1n－122n－1＋1n1

∵2＝2＝1＋2，

n－1n－1n－1

1＋11＋11＋11＋12222

∴原式＝＋＋＋…＋

2－13－14－1n－1

1111＝(n－1)＋22－1＋32－1＋42－1＋…＋n2－1



以下同例1解法．

三、当堂训练

11111．数列，，，…，，…的前n项和为(

)

2×55×88×113n－1×3n＋2nA.

3n＋23nC.

6n＋4答案

B 解析

由数列通项公式

1111－，

＝3n－13n＋233n－13n＋21111111得前n项和Sn＝3(2－5＋5－8＋8－11＋…＋111＝32－3n＋2

＝n.

6n＋411－) 3n－13n＋2B.n

6n＋4n＋1D.

n＋2

22.数列{}的前2 016项和为________.

nn＋13

四、知识梳理

如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项．裂项相消求和常用公式：

五、思考练习

1、已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.

(1)求an及Sn；

1(2)令bn＝2(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.

an－1解

(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. a1＋2d＝7，因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以

2a1＋10d＝26，a1＝3，解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，

d＝2.

nn－1Sn＝3n＋2×2＝n2＋2n. 所以an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.

4

(2)由(1)知an＝2n＋1，

1111所以bn＝2＝＝×

an－12n＋12－14nn＋1111＝4×n－n＋1，

111111所以Tn＝4×(1－2＋2－3＋…＋n－) n＋111n＝4×(1－)＝，

n＋14n＋1n即数列{bn}的前n项和Tn＝. 4n＋1112．设数列{an}满足a1＝0且－＝1，n∈N*.

1－an＋11－an(1)求{an}的通项公式；

1－an＋1(2)设bn＝，记Sn＝b1＋b2＋…＋bn，

n证明：Sn<1.

111是公差为1的等差数列，(1)解

由题设－＝1知，

1－a1－an＋11－ann11又＝1，故＝n，

1－a11－an1∴an＝1－n. 1－an＋1n＋1－n(2)证明

由(1)得bn＝＝

nn＋1·n11＝－，

nn＋11111111∴Sn＝1－＋－＋－＋…＋－

22334nn＋1

5

1＝1－<1. n＋1

6