1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学目标

§1.2独立检验的基本思想及其初步应用

滕州一中东校 韩霞

教材分析

本节课是选修1-2第一章第二节“独立检验的基本思想及其初步应用”的第一节，在《数学3（必修）》概率统计内容的基础上，通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用.教科书通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出了独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、条形图展示在吸烟人中患肺癌的比例比不吸烟人中患肺癌的比例要高，使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能有关系.“吸烟与患肺癌有关”这一直觉来自于观测数据，即样本.问题是这种来自于样本的印象能够在多大程度上代表总体？来自于样本的结论“吸烟与患肺癌有关”能够推广到总体吗？为了回答这个问题，就必须借助于统计理论来分析.在统计学中，独立性检验就是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法.

课时分配

本节内容用1课时完成，主要介绍独立性检验的基本思想、方法及初步应用；会从列联表（只要求22列联表）、条形图直观分析两个分类变量是否有关;会用K公式判断两个分类变量在某种可信程度上的相关性.

2教学目标

重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 难点：独立性检验的基本思想和随机变量K的含义.

知识点：了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用；会从列联表（只要求22列联表）、条形图直观分析两个分类变量是否有关;会用K公式判断两个分类变量在某种可信程度上的相关性.

能力点：通过本节课的学习，让学生感受数学与现实生活的联系，体会独立性检验的基本思想在解决日常生活问题中的作用. 教育点：培养学生运用所学知识，依据独立性检验的思想作出合理推断的实事求是的好习惯. 自主探究点：运用数形结合的方法，借助对典型案例的探究，来了解独立性检验的基本思想，总结独立性检验的基本步骤. 考试点：会用K公式判断两个分类变量在某种可信程度上的相关性. 222教具准备：多媒体辅助教学

课堂模式：以教师为主导，以学生为主体，合作探究式进行学习

一. 引入新课

师：5月31日是世界无烟日.有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手.这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？我们看下面一个问题：

为调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）

表1 吸烟与患肺癌调查表

不患肺癌

患肺癌

总计

不吸烟

7775

吸烟

总计

42

7817

2099

9874

49

91

2148

9965

那么吸烟是否对患肺癌有影响呢？下面先来介绍一下与列联表相关的概念. 【设计意图】联系生活，引起共鸣，激发学生的学习兴趣.从生活的实例出发，让学生充分体会数学与实际生活的联系，从而使得本节知识的形成更自然、更生动.

一、相关概念 1、分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量. 2、列联表：像表1 这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.（高中阶段我们只研究22列联表）

问题1：根据列联表中的数据，计算吸烟者和不吸烟者中患肺癌的比重各是多少？

学生活动，动手计算，做出相关结论. 在不吸烟样本中，有0.54%患肺癌；在吸烟样本中，有2.28%患肺癌.直观上可以得到结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异. 【设计意图】设置问题，引发学生的思考，激发学生的求知欲望. 二．探究新知

3、二维条形图: 将列联表中的数据输入到Excel表格中，将数据呈现到图形中

师用Excel表格演示：借助二维条形图的展示，使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能会有关系.

【设计意图】借助多媒体辅助教学进行演示，引导学生观察这两类图形的特征，并分析由图形得出的结论. 师：通过分析数据和图形，我们得到的直观判断是“吸烟和患肺癌有关”.当对这个问题作出推断时，我们不能仅凭主观意愿作出结论，那么这种判断是否可靠呢？

二、独立性检验

1、独立性检验的思想

把表1中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：

表2 吸烟与肺癌列联表

不患肺癌

患肺癌

总计

不吸烟

吸烟

总计

a

c

b

d

ab

cd

bd

abcd

为了回答上述问题，我们先假设H0：吸烟与患肺癌没有关系. ac

则有：，即adbc. abcd因此，adbc越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；adbc越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强. 构造一个随机变量

ac

nadbc2K

（1）

abcdacbd（其中nabcd为样本容量）

2若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K应该很小. 根据表1中的数据，利用公式（1）计算得到K的观测值为

229965(777549422099)2k56.632

78172148987491这个值到底能告诉我们什么呢？

统计学家经过研究后发现，在H0成立的情况下，

P(K26.635)0.01

（2）

问题2：如何理解在H0成立的情况下，（2）式的含义呢？

学生讨论总结：在H0成立的情况下，K的观测值大于6.635的概率非常小，近似为0.01，是一个小概率事件.

【设计意图】学生活动：讨论式教学，运用群体的力量和团队精神解决问题，通过给学生思考、探索的空间，培养学生的合作学习观念.

问题3：结合（2）式，以及K的观测值k56.632，由这两个式子你能得到什么样的结论呢？

教师启发，学生得出结论：这种判断会犯错误，但犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”. 上面这种利用随机变量K来判断“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验. 【设计意图】生成概念，让学生初步体会独立性检验的基本思想.

以教师为主导，遵从学生认识规律进行启发；以学生为主体，合作探究式进行学习.

222

类比：上面解决问题的想法类似于反证法,可以从与反证法思想比较的角度帮助学生理解上面介绍的独立性检验的思想. 下表列出了二者的对应关系：

反证法原理

在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立. 独立性检验原理

在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立. 学生活动：分组进行讨论，而后让学生总结二者的联系和区别

从上面的对比中，可以看出独立性检验的思想方法和反证法类似，不同之处有两个：其一是在独立性检验中用有利于H1的小概率事件的发生代替了反证法中的矛盾；其二是独立性检验中的接受原假设H0的结论相当于反证法中没有找到矛盾. 【设计意图】用类比的方法，帮助学生进一步理解独立性检验的思想，培养学生用联系的观点看问题. 三. 理解新知

师：要确认是否能以给定的可信程度认为“两个分类变量有关系”？（师生共同回忆上述问题的独立性检验的过程）

怎样判断K的观测值k是大还是小呢？这仅需确定一个正数k0，如果kk0时，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”.

我们称这样的k0为一个判断规则的临界值. 在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：

2P(K2k0)

k0

0.05

3.841

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.455

0.025

5.024

0.708

0.010

6.635

1.323

0.005

7.879

2.072

2.706

0.001

10.828

2、独立性检验的基本步骤：

①

根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界，查表确定临界值k0；

②

利用公式（1），由观测数据计算得到随机变量K的观测值k;

③

如果kk0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”. 【设计意图】教学生学会怎样运用临界值表. 2

四．运用新知

例1、在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶，而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶.能够能否在犯错误的概率不会超过0.01的前提下认为“秃顶与患心脏病”有关系吗？

解：根据题目所给数据得到如下列联表：

秃顶

不秃顶

总计

患心脏病

214 451 665 不患心脏病

175 597 772 总计

389 1048 1437

根据联表1-13中的数据，得到

1437(214597175451)2k16.3736.635

3891048665772因此，可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为秃顶与患心脏病有关系. 【设计说明】通过例题，巩固提高，熟练运用K公式进行独立性检验.

练习.有甲乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表:

甲班

已班

总计

优秀

10 7 17 不优秀

35 38 73 总计

45 45 90 2能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为成绩与班级有关？

答案：不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为成绩与班级有关. 五.课堂小结

背景分析

二维条形图

列联表

分类变量之间关系独立性检验

【设计意图】通过归纳总结，进一步加深学生对独立性检验思想的理解.让学生复习列联表的制作方法，运用独立性检验的思想解决实际问题. 六. 布置作业

必做：

某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成22列联表，根据列联表的数据，可以有在犯错误的概率不会超过

的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.

超重

不超重

1 12 13 合计

5 15 20

4 偏高

3 不偏高

7

合计

独立性检验临界值表

2P(kk0)

k0

20.05

0.025

0.010

0.005

3.841

5.024

6.635

7.879

n(adbc)2独立性检验随机变量K值的计算公式：K（其中(ab)(cd)(ac)(bd)2nabcd）

选做：

为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

性别

男

女

是否需要志愿者

40 30 需要

160 270 不需要

附：

0.050 0.010 0.001

P（k2k0)

k0

3.841 6.635 10.828 n(adbc)2

K(ab)(cd)(ac)(bd)2

（1）

估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）

能否在犯错误的概率不会超过0.01的前提下认为该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关？

【设计意图】作业的设计与例题相呼应，揭示了教与学的一致性. 答案：必做

0.025

选做：（1）14%（2）能在犯错误的概率不会超过0.01的前提下认为该地区的老年人需要志

愿者提供帮助与性别有关

七.教后反思：

亮点是:

本节课通过对几个问题的设置，经过学生之间的讨论、互评，教师的引导帮助，使得本节课的难点得以突破,学生通过总结也完善了自己的认知结构，从而对该部分的知识也有了更深的体会.我在课堂上注重学生的主体参与，努力创设教师引导下的学生自主探究、合作交流的学习方式，通过课堂练习，看到学生基本上能掌握用独立性检验思想解决实际问题，课前制定的教学目标基本实现. 不足是:在解答过程中学生还暴露出计算的准确率比较底,以及求K时懒于计算，还有的借助于计算器,计算方面还要不断加强训练. 2八、板书设计

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（一）

一、

有关概念 二、独立性检验 三、例题：

1、

分类变量 1、独立性检验的思想

2、

列联表 2、独立性检验的步骤