1.1 回归分析的基本思想及其初步应用ppt配套的教案及板书设计

第一章统计案例§1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）

明目标、知重点

1.了解随机误差、残差、残差图的概念.2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果.3.掌握建立线性回归模型的步骤．

1．线性回归模型

(1)函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．

(2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

(3)对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，回归直线y＝bx＋an^i＝1n∑

xi－xyi－y∑xiyi－nx

y^i＝1的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝＝n，a

＝yn222∑

xi－x∑xi－nx＝＝i1i1^－b

x，其中(x，y)称为样本点的中心．

(4)线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中a和b是模型的未知参数，e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．

2．残差的概念

对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，^^^^^n，其估计值为e

i＝yi－y

i＝yi－b

xi－a

，i＝1,2，…，n，e

i称为相应于点(xi，yi)的残差．

3．刻画回归效果的方式

(1)残差图法

作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．

(2)残差平方和法

残差平方和∑

(yi－y

i)2越小，模型拟合效果越好．

＝i1n^(3)利用R2刻画回归效果

R2＝1－i1n2∑

y－y

ii＝n^i12∑

y－yi＝，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R2越接近于1，表示回归的效果越好．

[情境导学]

“名师出高徒”这句谚语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？

探究点一

线性回归方程

思考1

两个变量之间的关系分几类？

答

分两类：①函数关系，②相关关系．

函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．

上面所提的“名师”与“高徒”之间的关系就是相关关系．

思考2

什么叫回归分析？

答

回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

思考3

对具有线性相关关系的两个变量进行回归分析有哪几个步骤？

答

基本步骤为画散点图，求线性回归方程，用线性回归方程进行预报．

例

1

若从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：

编号

身高/cm

体重/kg

1

165

48

2

165

57

3

157

50

4

170

54

5

175

64

6

165

61

7

155

43

8 170 59 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重．

解

(1)画散点图

选取身高为自变量x，体重为因变量y，画出散点图，展示两个变量之间的关系，并判断二者是否具有线性关系．

由散点图可以发现，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用回归直线y＝bx＋a来近似刻画它们之间的关系．

(2)建立回归方程

^^由计算器可得b

＝0.849，a

＝－85.712. ^于是得到回归方程为y

＝0.849x－85.712. (3)预报和决策

^当x＝172时，y

＝0.849×172－85.712＝60.316(kg)．

即一名身高为172 cm的女大学生的体重预报值为60.316 kg. 反思与感悟

在使用回归方程进行预报时要注意：

(1)回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；

(2)我们所建立的回归方程一般都有时间性；

(3)样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；

(4)不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值．

跟踪训练1

某班5名学生的数学和物理成绩如表：

学生学科

数学成绩(x)

物理成绩(y)

(1)画出散点图；

(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归方程；

(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．

解

(1)散点图如图．

1(2)x＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2. 51y＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8. 55i＝1A 88

78

B 76

65

C 73

71

D 66

64

E

63 61 ∑xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61 ＝25 054. i1222222∑x＝88＋76＋73＋66＋63＝27 174. i＝5^5∴b

＝^i＝1∑xiyi－5x·y2∑xi－5i＝1^5x2≈0.625. ∴a

＝y－b

x＝67.8－0.625×73.2＝22.05. ^∴y对x的回归方程是y

＝0.625x＋22.05. ^(3)当x＝96时，y

＝0.625×96＋22.05≈82. 所以，可以预测他的物理成绩是82. 探究点二

线性回归分析

思考1

利用求得的回归方程进行预报，为什么得到的预报值和实际值并不相同？

答

解释变量和预报变量之间的关系是相关关系而非函数关系，由回归方程得到的是预报值

而非实际值．

思考2

给出两个变量的回归方程，怎样判断拟合效果的好坏？

答

一般有三种方法来判断拟合效果：①残差平方和法：残差平方和越小，拟合效果越好；②残差图中的点分布的带形区域宽度越窄，拟合精度越高；③相关指数法：相关指数R2越接近于1，模型的拟合效果越好．

思考3

如果R2≈0.64，表示什么意义？

答

表示“解释变量对于预报变量的贡献率为64%.”

思考4

回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？

答

不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食习惯，是否喜欢运动等．

例2某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：

次数(x)

成绩(y)

(1)作出散点图；

(2)求出回归方程；

(3)作出残差图；

(4)计算相关指数R2；

(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．

解

(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，

如右图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．

(2)列表计算：

次数xi

30

33

35

37

39

44

46

50

成绩yi

30

34

37

39

42

46

48

51

x2i

900

1 089

1 225

1 369

1 521

1 936

2 116

2 500

y2i

900

1 156

1 369

1 521

1 764

2 116

2 304

2 601

8i130

30

33

34

35

37

37

39

39

42

44

46

46

48

50 51 xiyi

900 1 122 1 295 1 443 1 638 2 024 2 208 2 550 由上表可求得x＝39.25，y＝40.875，∑x2i＝12 656，

＝82∑yi＝13 731，∑xiyi＝13 180，

i＝1i＝18

8^∴b

＝^i＝1∑xiyi－8x

y2∑xi－8i＝1^8x2≈1.041 5，

a

＝y－b

x≈－0.003 88，

^∴回归方程为y

＝1.041 5x－0.003 88. (3)残差分析

作残差图如右图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．

(4)计算相关指数R2

计算相关指数R2≈0.985 5.说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．

(5)做出预报

^由上述分析可知，我们可用回归方程y

＝1.041 5x－0.003 88作为该运动员成绩的预报值．

将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y＝49和y＝57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57. 反思与感悟

解答本类题目应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．

跟踪训练2

假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：

x y 15.0

39.4

25.8

42.9

30.0

42.9

36.6

43.1

44.4 49.2 (1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；

(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；

(3)计算各组残差，并计算残差平方和；

(4)求相关指数R2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？

解

(1)散点图如下．

(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，

因此可以用回归方程刻画它们之间的关系．

^^^设回归方程为y

＝b

x＋a

，x＝30.36，y＝43.5，

522∑x＝5 101.56，∑yii＝9 511.43. i＝1i＝15x

y＝1 320.66，y2＝1 892.25，x2＝921.729 6，

5i＝1∑xiyi＝6 746.76. 5^i＝1由b

＝^∑xiyi－5x

y2∑xi－5i＝1^5x2≈0.29，

a

＝y－b

x＝43.5－0.29×30.36≈34.70. ^故所求的线性回归方程为y

＝34.70＋0.29x. ^当x＝56.7时，y

＝34.70＋0.29×56.7＝51.143. 估计成熟期有效穗为51.143. (3)由于y＝bx＋a＋e，

^^^可以算得e

i＝yi－y

i分别为e

1＝0.35，

^^^^e2＝0.718，e

3＝－0.5，e

4＝－2.214，e

5＝1.624，

2残差平方和：∑e

i≈8.43. ＝i15^8.4322(4)可得：∑

(y－y)＝50.18，∴R＝1－≈0.832. i50.18i＝1所以解释变量小麦基本苗数对有效穗约贡献了83.2%.残差变量贡献了约1－83.2%＝16.8%. 5

1．下列各组变量之间具有线性相关关系的是(

) A．出租车费与行驶的里程

B．学习成绩与学生身高

C．身高与体重

D．铁的体积与质量

答案

C ^2．若劳动生产率x(千元)与月工资y(元)之间的线性回归方程为y

＝50＋80x，则下列判断正确的是(

) A．劳动生产率为1 000元时，月工资为130元

B．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高80元

C．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高130元

D．月工资为210元时，劳动生产率为2 000元

答案

B 3．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是(

) ^^^^A.y

＝－10x＋200

B.y

＝10x＋200

C.y

＝－10x－200

D.y

＝10x－200 答案

A 解析

由于销售量y与销售价格x成负相关，故排除B、D.又当x＝10时，A中y＝100，而

C中y＝－300，C不符合题意，故选A. 4．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示^年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程：y

＝0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加______万元．

答案

0.254 解析

由题意知[0.254x＋1＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254. [呈重点、现规律]

回归分析的步骤：

(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；

(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；

^^^(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y

＝b

x＋a

)；

(4)按一定规则估计回归方程中的参数；

(5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误或模型是否合适等．

一、基础过关

1．在下列各量之间，存在相关关系的是(

) ①正方体的体积与棱长之间的关系；

②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；

③人的身高与年龄之间的关系；

④家庭的支出与收入之间的关系；

⑤某户家庭用电量与电价之间的关系．

A．②③

答案

D 2．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本^B．③④ C．④⑤

D．②③④

数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y

＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(

) A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心(x，y) C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg

D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 答案

D ^解析

由回归方程为y

＝0.85x－85.71知y随x的增大而增大，所以y与x具有正的线性相^^^^^^^关关系；由最小二乘法建立回归方程的过程知y

＝b

x＋a

＝b

x＋y－b

x(a

＝y－b

x)，所以回归直线过样本点的中心(x，y)；利用回归方程可以估计总体，所以D不正确．

3.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x(万元)

销售额y(万元)

^^^^4

49

2

26

3

39

5 54 根据上表可得回归方程y

＝b

x＋a

中的b

为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(

) A．63.6万元

答案

B 解析

∵x＝^^^B．65.5万元

C．67.7万元

D．72.0万元

4＋2＋3＋5749＋26＋39＋54＝，

y＝＝42，

424又y

＝b

x＋a

必过(x，y)，

^^7∴42＝×9.4＋a

，

∴a

＝9.1. 2^∴线性回归方程为y

＝9.4x＋9.1. ^∴当x＝6(万元)时，y

＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．

4．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和∑

(yi－y

i)2如下表

＝i1n^

散点图

甲

乙

丙

丁

残差平方和

115

106

124

103

哪位同学的实验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高？(

) A．甲

答案

D 5．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R2≈________，表明“气温解释了85%的热茶销售杯数变化”或者说“热茶销售杯数差异有85%是由气温引起的”．

答案

0.85 B．乙

C．丙

D．丁

6．对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________．

^答案

y

＝－10＋6.5x

^解析

由题意知x＝2，y＝3，b

＝6.5，

^^所以a

＝y－b

x＝3－6.5×2＝－10，

^即回归直线的方程为y

＝－10＋6.5x. 7．某个服装店经营某种服装，在某周内纯获利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：

x y (1)求样本中心点；

(2)画出散点图；

(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程．

解

(1)x＝6，y≈79.86，中心点(6,79.86)．

(2)散点图如下：

3

66

4

69

5

73

6

81

7

89

8

90

9 91 ^i＝1

xi－xyi－y≈4.75，

i＝17(3)因为b

＝

xi－x27^^a＝y－bx≈51.36，

^所以y＝4.75x＋51.36. 二、能力提升

8.已知x与y之间的几组数据如下表：

x y 1

0

2

2

^3

1

^4

3

^5

3

6 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程y

＝b

x＋a

，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(

) ^^^^A.b

>b′，a

>a′

B.b

>b′，a

^^^^C.b

>a′

D.b

答案

C

^i＝1

xi－xyi－y求得．

i＝16解析

b′＝2，a′＝－2，由公式b

＝

xi－x26^5^13571b

＝，a

＝y－b

x＝－×＝－，

76723^^^∴b

>a′.选C.

9．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归方程必过(

) x y 1

1

2

3

3

5

4 7 A.点(2,3)

B．点(1.5,4)

C．点(2.5,4)

D．点(2.5,5) 答案

C 解析

回归方程必过样本点的中心(x，y)，即(2.5,4)．

10．如图是x和y的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，

剩下的4组数据的相关指数最大．

答案

D(3,10) 解析

经计算，去掉D(3,10)这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大．

11．某车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到的数据如下：

零件的个数x/个

加工的时间y/小时

2

2.5

3

3

4

4

5 4.5 若加工时间y与零件个数x之间有较好的相关关系．

(1)求加工时间与零件个数的回归方程；

(2)试预报加工10个零件需要的时间．

7742解

(1)由表中数据得x＝，y＝，∑x＝54，

22i＝1i4i＝1∑xiyi＝52.5，

^^^从而得b

＝0.7，a

＝y－b

x＝1.05，

^因此，所求的回归方程为y

＝0.7x＋1.05. (2)将x＝10代入回归方程，得

^y

＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，

即加工10个零件的预报时间为8.05小时．

12．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x(元)

销量y(件)

^^^8

90

^8.2

84

^8.4

83

^8.6

80

8.8

75

9 68 (1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝y－bx；

(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9解

(1)x＝＝8.5，

61y＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80. 6^^^∵b＝－20，a＝y－bx，

^∴a

＝80＋20×8.5＝250，

^∴回归直线方程y

＝－20x＋250. (2)设工厂获得的利润为L元，则

L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250) 33＝－20(x－)2＋361.25，

433∴该产品的单价应定为元，工厂获得的利润最大．

4三、探究与拓展

13.关于x与y有如下数据：

x y 有如下的两个线性模型：

^^2

30

4

40

5

60

6

50

8 70 ①y

＝6.5x＋17.5；②y

＝7x＋17. 试比较哪一个模型拟合的效果更好．

^解

由①可得yi－y

i与yi－y的关系如下表：

^yi－y

i

yi－y

－0.5

－20

－3.5

－10

10

10

－6.5

0

0.5 20

5^所以∑

(yi－y

i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155，

＝i1i1∑

(yi－y)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000. ＝155＝1－＝0.845. 1 0002∑

yi－y＝i15^5所以R21＝1－∑

yi－y

i2＝5^i1由②可得yi－y

i与yi－y的关系如下表：

^yi－y

i

yi－y

5^i1－1

－20

－5

－10

8

10

－9

0

－3 20 222222所以∑

(y－y

)＝(－1)＋(－5)＋8＋(－9)＋(－3)＝180，

ii＝222222∑

(y－y)＝(－20)＋(－10)＋10＋0＋20＝1 000. i＝2∑

y－y

ii＝5^5i1所以R22＝1－i1180＝1－＝0.82. 1 0002∑

yi－y＝i15222由于R21＝0.845，R2＝0.82,0.845>0.82，所以R1>R2. 故①的拟合效果好于②的拟合效果．