3.1 数系的扩充ppt课件教学实录

3．1

数系的扩充

复数的概念及代数表示法

问题1：方程2x2－3x＋1＝0.试求方程的整数解？方程的实数解？

1提示：方程的整数解为1，方程的实数解为1和. 2问题2：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？

提示：没有解．

问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？

提示：有解，x＝i. 问题4：实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi，这一新数集形式如何表示？

提示：C＝{a＋bi|a，b∈R}．

1．虚数单位i 我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：

(1)i2＝－1. (2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．

2．复数的概念

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C. 3．复数的代数形式

复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与

虚部.

问题1：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z是什么数？

复数的分类

提示：当b＝0时，z＝a为实数．

问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，z是什么数？

提示：当a＝b＝0时，z＝0为实数；当a＝0，b≠0，z＝bi为纯虚数．

实数

b＝0，1．复数z＝a＋bi

虚数

b≠0，当a＝0时为纯虚数.

2．两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．

1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．

2．复数集是实数集的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小．在复数集里，

一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分．

[对应学生用书P35]

复数的概念

mm＋2[例1]

实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯

m－1虚数？

[思路点拨]

分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．

mm＋2[精解详析]

(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，m－1解得m＝－3. mm＋2(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1m－1且m≠－3. mm＋2(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2. m－1[一点通]

z＝a＋bi(a，b∈R)是复数的基本定义，由a，b的取值来确定z是实数、虚数、纯虚数还是零．在解题时，关键是确定复数的实部和虚部．

1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．

解析：∵z＝(x2－1)＋(x－1)i是纯虚数，

2x－1＝0，∴∴x＝－1. x－1≠0.

答案：－1 22．已知复数2＋7，i,0i,5i＋8，i(1－3)，i2，其中纯虚数的个数为________．

7解析：∵0i＝0，i2＝－1，

2∴纯虚数有i，(1－3)i. 7答案：2 m2＋m－63．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为

m(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

2m－2m＝0，解：(1)当

m≠0.

即m＝2时，复数z是实数；

(2)当m2－2m≠0，即m≠0. 且m≠2时，

复数z是虚数；

m＋m－6＝0，m(3)当

m2－2m≠0.即m＝－3时，复数z是纯虚数．

[例2]

已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．

[思路点拨]

因为M∪P＝P，所以MP，从而可建立关于m的关系式，进而求得m的值．

[精解详析]

∵M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，

P＝{－1,1,4i}，且M∪P＝P. ∴MP，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，

或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i. 22m－2m＝－1，m－2m＝0，∴2或2

m＋m－2＝0，m＋m－2＝4.2

复数相等的充要条件

∴m＝1或m＝2. [一点通]

(1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．

(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．

(3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．

4．当关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝________. 解析：设实根为x0，则x20＋x0＋2x0i＋3m＋i＝0. 即x20＋x0＋3m＋(2x0＋1)i＝0. 2x0＋x0＋3m＝0，∴

2x0＋1＝0.

1∴m＝. 121答案：

125．已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x、y的值．

解：∵x，y为实数，

2x－1＝x－y，∴2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数，由复数相等的定义，知

y＋1＝－x－y.x＝3，∴

y＝－2.

6．已知m是实数，n是纯虚数，且2m＋n＝4＋(3－m)i，求m，n的值．

解：设n＝bi(b∈R且b≠0) 由2m＋n＝4＋(3－m)i得2m＋bi＝4＋(3－m)i，

2m＝4，m＝2，∴

∴

b＝3－m.b＝1.

∴m的值为2，n的值为i.

[例3]

若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．

[思路点拨]

分析条件→两复数均为实数→得关于m的不等式组→求解. [精解详析]

∵m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10，

m－3m＝0，2∴m－4m＋3＝0，

m2<10.2复数概念的综合应用

解上式得：m＝3. [一点通]

不全为实数的两个复数没有大小的关系，只有相等或不等．由两个复数可以比较大小，知两个数必全为实数，进而根据复数的分类法列实数m的方程(组)求解．

7．已知复数x2－1＋(y＋1)i大于复数2x＋2＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围．

解：∵x2－1＋(y＋1)i>2x＋2＋(y2－1)i，(x，y∈R)，

y＋1＝0，2∴y－1＝0，x2－1>2x＋2.

y＝－1，∴

x>3或x<－1.

8．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z<0，求实数k. 解：∵z<0，∴z∈R. ∴k2－5k＋6＝0. ∴k＝2或k＝3.但当k＝3时，z＝0不符合题意．

k＝2时，z＝－2<0符合题意．

∴k＝2.

1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0. 2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．

3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必a>0是实数．即a＋bi>0(a，b∈R)⇔. b＝0

[对应学生用书P36]

一、填空题

1．下列命题中，

①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；

②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；

③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；

④两个虚数不能比较大小．

其中正确的命题是________．

解析：①若a＝－1，则(a＋1)i＝0，①错；②复数中的虚数只能说相等或不相等，不能比较大小．②错；③中x＝－1则x2＋3x＋2＝0，∴x＝－1不适合，③错；④是正确的．

答案：④

2．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．

24－3a＝a，解析：由复数相等的充要条件可知2

－a＝4a，

解得a＝－4. 答案：－4 3．复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)是纯虚数，则a的取值为________．

解析：∵复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i是纯虚数，

2a－a－2＝0，∴

|a－1|－1≠0.

解之得a＝－1. 答案：－1 4．已知M＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数a＝________. 解析：∵M∩N＝{3}，

∴(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，

2a－3a－1＝3，即2

a－5a－6＝0.

解之得a＝－1. 答案：－1 5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为________．

解析：∵z1>z2，

2a＋3a＝0，2∴a＋a＝0，

－4a＋1>2a，a＝0或a＝－，2即a＝0或a＝－1，1a<6.32

故a＝0. 答案：0 二、解答题

6．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i，实部小于零，虚部大于零，求实数k的取值范围．

22k－3k－2<0，解：由题意得2

k－k>0，

2k＋1k－2<0，即

kk－1>0，

1－2

k>1或k<0.1解得－

xy＝2，解：由复数相等的条件可知：

22－x＋y＝－5，x＝1，x＝－1，x＝2，x＝－2，解得或或或

x＝2y＝－2y＝1y＝－1.

8．设复数z＝lg(m2－2m－14)＋(m2＋4m＋3)i，试求实数m的值，使(1)z是实数；(2)z是纯虚数．

解：(1)∵z为实数，∴虚部m2＋4m＋3＝0，

则m＝－1或m＝－3. 而当m＝－1时，m2－2m－14＝1＋2－14<0(舍去)；

当m＝－3时，m2－2m－14＝1>0. ∴当m＝－3时z为实数．

(2)∵z为纯虚数，

∴实部lg(m2－2m－14)＝0，

且m2＋4m＋3≠0，

2m－2m－14＝1，即2解得m＝5. m＋4m＋3≠0，

∴当m＝5时z为纯虚数．