小结国家优质课一等奖

6.2算术平均数与几何平均数

教学目标：1、弄清定理的条件和结论，掌握定理的结构特征。

2、能应用公式解决简单问题。

3、训练学生的运算变换能力，培养思维的灵活性和严密性，

教学重点：能熟练应用定理解决求函数最值问题。

教学过程：

一、

【设置情境】

问题引入：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m，深为3m，如果池底每1m232的造价为150元，池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？

教师启问：这是课本引言中的一道实际应用问题，问题的实质是什么？可以抽象成怎样的数学问题？

师生分析：设水池底面一边的长度为xm，则另一边的长度为又设水池总造价为y元，根据题意得：

4800m，

3xy150

480048001600120(23x23)240000720(x)

33xx问题转化为求这一函数最小值的问题，怎么求解呢？本节课我们将获取解决这一问题的工具。

二、

【探索研究】

1、我们先来证明一个简单的不等式：ab2ab

（学生自己证明）

222证明：ab2ab(ab)0

∴

ab2ab

22222、重要不等式及其定理的推导

22

①重要不等式：如果a,bR，那么ab2ab（当且仅当ab时取“=”号）

abab （当且仅当ab时取“=”号）

2abab。

证明：(a)2(b)22ab，∴ ab2ab 即2abab

显然，当且仅当ab时，2ab

我们称为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数

2②定理：如果a,b都是正数，那么 因而，这一定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3、重要不等式和均值定理的说明

①：上述两个定理成立的条件不同。

a2b22ab称为重要不等式，成立的条件是a,bR；

abab成为均值不等式，成立的条件是a,bR。

2abab（a,bR）的几何解释

②：均值定理2 以ab长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，

不等式使ACa,CBb,过点C作垂直于直径AB的弦DD1

，

连接AD、BD，易得RtACD～RtDCB，

那么CDCACB，即CD这个圆的半径为即2D ab

A a C b B ab。

ab，显然它大于或等于CD，

2abab，其中当且仅当点C和圆心重合时，

2即ab时,等号成立。

abab2ab的变式：ab2ab，ab()很有用。

③：不等式22D1 ④：分析不等式的结构：左为和，右为积，该不等式表明两个正数的和与两个正数的积之间的大小关系，运用该不等式可以作和与积之间的不等变换。

三、【知识的应用与解题研究】

解决引言中问题：求函数yx1600,(x0)的最小值。

x

例1、已知x,y都是正数，求证：

（1）如果积xy是定值p，那么当xy时，和xy有最小值2p。

（2）如果和xy是定值s，那么当xy时，积xy有最大值

分析探求：本题关键在于确定已知和未知之间的关系，

（1）中的xy与已知条件中的定值p有怎样的关系？

（2）中的xy与已知条件中的定值s有怎样的关系？

能利用这一关系解决相应的问题吗？

12s。

4

引导学生尝试解决：因为x,y都是正数，所以（1）积xy是定值p时，有xyxy

2xy2p，∴xy2p，当且仅当xy时取“=”号

因此当且仅当xy时，和xy有最小值2p。

ss2

（2）和xy是定值s时，有xy，∴xy，当且仅当xy时取“=”号

24因此当且仅当xy时，积xy有最大值12s。

4

反思研究：上述结论是我们利用基本不等式求最值的依据，可总结如下：“和为定值积最大，积为定值和最小”。

小结：利用均值不等式求函数最值的步骤

①各项必须为正;

②含变数的各项和或积必须为定值;

即“一正,二定,三相等”

③必须有自变量值能使函数取到“=”号

练习1、求函数yx(1x),(0x1)的最大值及相应的x值。

例2、求函数f(x)2log2x5,(0x1)的范围。

log2x分析探求：f(x)2log2x5522log2x225是否正确？为什么？

log2xlog2x

引导学生尝试解决：0x1，∴

log2x0

，log2x0，

∴f(x)2log2x552[(log2x)()]225

log2xlog2x

当且仅当log2x5即x25时，f(x)的最大值为225。

log2x

小结：一不“正”时，常用ab2ab，(a0,b0)，当且仅当ab时取“=”号。

练习2、（1）若x>0，函数f(x)123x的最小值为_______，此时x =_______。

x123x的最大值为_______，此时x =_______。

（2）若x<0，函数f(x)x

x23x1,(x1)的最小值。

例3、求函数f(x)x1分析探求：函数本身的结构满足分母x10，即“一正”，但分子不满足，故需变形

5x23x1(x1)25(x1)5(x1)5

引导学生尝试解决：f(x)x1x1x1

又∵x1，∴

x10

∴(x1)

当且仅当(x1)55255

x15即x51时取“=”号。

x1小结：二不“定”时，需变形。

练习3、（1）

函数yx1,(x0)的最小值为_______，此时x =_______。

x11

（2）

函数yx(12x),(0x)的最大值为_______，此时x =_______。

2

例4、求函数yx25x42的最小值。

分析探求：函数本身的结构满足“一正”，不满足“二定”，故需变形，如何变可出现定值？

yx25x42x241x412x241x422，

当且仅当x42x42时取“=”，这种做法对吗？为什么？

引导学生尝试解决：上述变形满足了“一正”、“二定”，但不满足“三相等”，即取“=”的条件不具备，故需选择其他求函数最值的方法，有什么依据呢？

依据：利用函数yt,(t2)的单调性：

当t[2,)时，单调递增

∴令t1t15x24，则t2，递增，∴当t2即x0时，

yt有最小值。

t2小结：三不“等”时，常用单调性。

思考题、求函数ysinx

2,(0x)的最小值。

sinx2

四、【课堂总结】

221、（1）重要不等式：如果a,bR，那么ab2ab（当且仅当ab时取“=”号）

（2）均值定理：如果a,b都是正数，那么2、应用均值不等式求最值的问题

abab （当且仅当ab时取“=”号）

2（1）利用均值不等式求函数最值的步骤：一正、二定、三相等

（2）如果不能同时满足上述三个条件，则需要转变形式创造条件来求函数的最值。

一不“正”，常用ab2ab，(a0,b0)

二不“定”，需变形，

三不“等”，常用单调性。

五、布置作业：习题6.2

4、5、6、7