2.2.2 反证法教学活动设计方案

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2．2.2 反

证

法

1．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．

2．掌握反证法证题的步骤以及哪些类型的题目宜用反证法证明．

基础梳理

反证法的定义：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．

基础自测

1．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有唯一解”的结论的否定是(D)

A．无解 B．两解

C．至少两解 D．无解或至少两解

解析：易知此命题结论的否定是：无解或至少两解．故选D.

2．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则(B) A．a，b都与l相交 B．a，b至少有一条与l相交

C．a，b至多有一条与l相交 D．a，b都与l不相交

解析：若a，b都与l不相交，则a∥l，b∥l，∴a∥b，这与a，b为异面直线矛盾．∴a，b至少有一条与l相交．故选B.

333．用反证法证明“已知a＋b＝2，求证a＋b≤2”时的反设为______，得出的矛盾为______．

332333解析：假设a＋b＞2，则a＞2－b，∴a＞(2－b)＝8－12b＋6b－b，又a＋b＝2，∴226b－12b＋6＜0，即6(b－1)＜0，由此得出矛盾．

2答案：a＋b＞2 6(b－1)＜0

4．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定应是________________________________________________________________________．

解析：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定应是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．

答案：a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数

(一)用反证法证明数学命题的一般步骤

(1)反设——即先弄清命题的条件和结论，然后假设命题的结论不成立；

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(2)归谬——从反设出发，经过推理论证，得出矛盾；

(3)断言——由矛盾得出反设不成立，从而断定原命题的结论成立．

（二）反证法得出的矛盾

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这些矛盾常常表现为以下几个方面：

(1)与已知条件矛盾；

(2)与假设矛盾；

(3)与数学公理、定理、公式或已被证明了的结论矛盾；

(4)与简单的、显然的事实矛盾．

（三）注意事项

(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，同时注意反设的准确性，尤其当出现两种以上情况时应特别细心，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．

(2)必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，并且必须依据这一条件进行推证，否则，只否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．

(3)反证法常用于直接证明比较困难的命题，例如某些初始命题(包括部分基本定理)、必然性命题、存在性问题、唯一性问题、否定性问题、带有“至多有一个”或“至少有一个”等字眼的问题．

使用反证法证明问题时，准确地做出反设是正确运用反证法的前提，常见“反设词”如下：

p原∀x ∀x 至少

至多

至少

至多

p或＝

＞

＜

且

词

成立

不成立

一个

一个

n个

n个

q q 反∃x0

设≠

≤

≥

不成立

词

至多

n－1个

至少

綈p且

n＋1綈q 个

∃x0

成立

一个都

没有

至少

两个

綈p或

綈q)

1．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”，第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．

2．适合用反证法证明的命题：(1)否定性命题；(2)唯一性命题；(3)至多、至少型命题；(4)明显成立的问题；(5)直接证明有困难的命题．

3．使用反证法证明问题时，准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：

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4.常见的矛盾主要有：(1)与假设矛盾；(2)与公认的事实矛盾；(3)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾．

1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(C) ①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论

A．①② B．①②④

C．①②③ D．②③

2．用反证法证明命题“一个三角形不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.其中顺序正确的是(C) A．①②③ B．①③②

C．③①② D．③②①

解析：根据反证法的步骤，容易知道选C.

3．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的结论是正确的．例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP.用反证法证明时应分：假设________和________两类．

解析：因为小于的否定是不小于，所以应填∠BAP＝∠CAP和BAP＞∠CAP. 答案：∠BAP＝∠CAP

BAP＞∠CAP

4．求证：如果a>b>0，那么a>b(n∈N，且n>1)．

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证明：假设a不大于b，则a＝b，或a＜b

当a＝b时，则有a＝b. 这与a＞b＞0相矛盾．

当a＜b时，则有a＜b，这也与a＞b相矛盾．

所以a＞b.

nnnnnnnnnnnn1．“实数a，b，c不全为0”的意思为(D) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0

2．下列命题中错误的是(D) A．三角形中至少有一个内角不小于60°

B．四面体的三组对棱都是异面直线

C．区间(a，b)上单调函数f(x)至多有一个零点

D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中为奇数的一个也没有

333．用反证法证明命题“如果a＞b，则a＞b”时，假设内容应是(D) 3333A.a＝b B.a＜b

33333333C.a＝b且a＜b D.a＝b或a＜b

333333解析：容易知道，“a＞b”的否定是“a＜b或a＝b”，所以选D.

4．如果两个实数之和为正数，则这两个数(A) A．至少有一个是正数

B．两个都是正数

C．一个是正数，一个是负数

D．两个都是负数

解析：假设两个都是负数，其和必为负数，矛盾，所以选A.

1115．a＞0，b＞0，c＞0，则三个数a＋，b＋，c＋(D) bcaA．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个数不大于2 D．至少有一个数不小于2 "备课大师"全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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111111解析：a＋＋b＋＋c＋＝a＋＋b＋＋c＋≥2＋2＋2＝6.若三个数均小于2，bcaabc111则a＋＋b＋＋c＋＜6，故选D. bca

x2y2126．设椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c，0)，方程ax＋bx－cab2＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)(C) 22A．必在圆x＋y＝2上

22B．必在圆x＋y＝2外

22C．必在圆x＋y＝2内

D．以上三种情形都有可能

c1解析：∵e＝＝，

a22222∴a＝2c.∴b＝a－c＝3c. 22假设点P(x1，x2)不在圆x＋y＝2内，

b2c3c2c7则x＋x≥2，但x＋x＝(x1＋x2)－2x1x2＝－＋＝2＋＝＜2，矛盾．

a4c2c4a21222122222∴假设不成立．

22∴点P必在圆x＋y＝2内．故选C.

7．命题“在△ABC中，A＞B则a＞b”，用反证法证明是，假设是________．

解析：命题的结论是a＞b，假设应是“a≤b”．

答案：a≤b

8．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除．”那么假设的内容是____________________．

解析：“至少有n个”的否定是“最多有n－1个”．

答案：a，b中没有一个能被5整除

9．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．

答案：a≠1，或b≠1

222210．若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0，x＋2ax－2a＝0至少有一个方程实根，求实数a的取值范围．

解析：设三个方程均无实根，则有

2Δ＝16a－4（－4a＋3）＜0，22Δ＝（a－1）－4a＜0，Δ＝4a2－4（－2a）＜0，

解得a＜－1，或a＞1，

3－2＜a＜0，3所以－＜a＜－1. 231－＜a＜，22"备课大师"全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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3所以当a≥－1，或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根．

2

11．如果非零实数a，b，c两两不相等，且2b＝a＋c，

211证明：＝＋不成立．

bac2112a＋c2b证明：假设＝＋成立，则＝＋，

bacbacac∴b＝ac. 2a＋c＝ac，即a2＋c2＝2ac，

又∵b＝，∴22a＋c22即(a－c)＝0. ∴a＝c，这与a，b，c两两不相等矛盾．

211∴＝＋不成立．

bac

x－2(a＞1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．

x＋1x0－2证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，则x0＜0且x0≠－1且axo＝－，

x0＋1x0－21∴0＜axo＜1⇒0＜－＜1，解得＜x0＜2，这与x0＜0矛盾，故方程f(x)＝0没有负x0＋1212．已知f(x)＝a＋x数根．

►品味高考

31．(2014·山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(A) 3A．方程x＋ax＋b＝0没有实根

3B．方程x＋ax＋b＝0至多有一个实根

3C．方程x＋ax＋b＝0至多有两个实根

3D．方程x＋ax＋b＝0恰有两个实根

33解析：因为“方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x＋ax＋b＝0的实根3大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x＋ax＋b＝0没有实根”．

2．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一面内，M，N分别为AB，DF的中点．

(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；

(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．

解析：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，

∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，

∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝2.

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∵平面ABCD⊥平面DCEF，

∴MG⊥平面DCEF. ∴MG⊥GN. 22∴MN＝MG＋GN＝6. (2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN. 由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，

故AB⊄平面DCEF. 又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF. ∴EN∥AB.又AB∥CD∥EF，

∴EF∥NE.这与EF∩EN＝E矛盾，

故假设不成立．

∴ME与BN不共面，它们是异面直线．

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