1.不等式的基本性质优秀课堂实录

不等式的性质

1．两个实数大小的比较

(1)a＞b⇔a－b________；

(2)a＝b⇔a－b________；

(3)a＜b⇔a－b________. 2．不等式的性质

(1)对称性：a>b⇔__________；

(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；

(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；

(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，

不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；

(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；

※(6)异向不等式相减：a>b，c

(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________；

ab※(8)异向不等式相除：a>b>0，0

cd11

※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒＜；

ab(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；

(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．

※注：(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．

自

查

自

纠：

1．＞0

＝0

＜0 2．(1)b

(2)a>c

(3)>

(4)ac>bc

ac

(5)a＋c>b＋d

(7)ac>bd

(10)an>bn(n∈N且n≥2) nn(11)a>b(n∈N且n≥2)

(教材题改编)若－1＜a＜b＜1，则

(

) A．－2＜a－b＜0

B．－2＜a－b＜－1 C．－1＜a－b＜0

D．－1＜a－b＜1 解：－1＜a＜1，－1＜－b＜1⇒－2＜a－b＜2.又a＜b，则－2＜a－b＜0.故选A.

(2016·四川成都模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中一定成立的是

(

) 1a1b11A.＜

B.2＜2

ab

11bb＋1C．a＋＜b＋

D.＜

baaa＋11x11b－a解：因为a＜b＜0，所以b－a＞0，ab＞0，－＝＞0，因此A错误；由函数f(x)＝2是减函abab11a＋1－b＋1＝

(a－b)1＋1＜0知C正确．或用特值法，取a＝－数知＞，B错误；由22baab2，b＝－1，排除A，B，D.故选C.

(2016·贵州模拟)若a，b都是实数，则

“a－b>0”是“a2－b2>0”的

(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解：由a－b>0得a>b≥0，由a2－b2>0得a2>b2，即|a|＞|b|，所以“a－b>0”是“a2－b2>0”的充分不必要条件．故选A.

已知a＝27，b＝6＋22，则a，b的大小关系是a________b. 7解：由于a＝27，b＝6＋22，平方作差得a2－b2＝28－14－83＝14－83＝84－3＞0，从而a＞b.故填＞.

(2017·北京)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．

解：a，b，c是实数，若a＞b＞c＞0，不等式a＋b＞c成立；a，b，c是实数，若a＞0＞b＞c，不等式a＋b＞c成立；a，b，c是实数，若0＞a＞

b＞c，a＋b＝c，不等式a＋b＞c不成立，一组整数a，b，c的值为负数，依次为－1，－2，－3.故填

－1，－2，－3.

ab类型一

建立不等关系

(2016·湖南模拟)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于108 m2，靠墙的一边长为x

m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．

解：设矩形靠墙的一边长为x

m，

30－xx15－

m，

则另一边长为

m，即220＜x≤18，0＜x≤18，根据题意知

故填

xx15－15－x≥108.x≥108.22点

拨：

解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．

(2015·湖北改编)设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若[t2]＝4，则实数t的取值范围是________．

解：由已知有4≤t2＜5，所以2≤t＜5或

－5＜t≤－2.

故填(－5，－2]∪[2，5)．

类型二

不等式的性质

下列说法正确的是

(

) A．a，b∈R，且a＞b，则a2＞b2

abB．若a＞b，c＞d，则

＞

cdabC．a，b∈R，且ab≠0，则＋≥2 baD．a，b∈R，且a＞|b|，则an＞bn(n∈N*) 解：当a＝0，b<0时A选项不正确；

ab当a>0>b，0>c>d时，<0，>0，所以B选项不正确；

cdab当ab<0时，<0，<0，所以C选项不正确．

baD正确．故选D.

点

拨：

运用不等式性质解题时，先从各个代数式的正负性考虑问题，直接判断各式大小；当各个代数式的正负性一致时，可考虑用不等式的性质进行证明，得出正确选项．

若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(

) ababababA.＞

B.＜

C.＞

D.＜

cdcddcdc11abab解：由c＜d＜0⇒－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式性质，得－＞－＞0，所以＜.故选D.

dcdcdc类型三

不等式性质的应用

α

(1)若1<α<3，－4<β<2，则－β的取值范围是________．

23111α3α－，.故填解：由1＜α＜3得＜＜，由－4＜β＜2得－2＜－β＜4，所以－β的取值范围是222222－3，11.

22点

拨：

1α3①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由＜＜和－4＜β＜2两式222α相减来得到－β的范围．②此类题目用线性规划也可解．

2(2)已知－1＜a＋b＜3且2＜a－b＜4，则2a＋3b的取值范围是________．

解：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，

x＋y＝2，所以解得x－y＝3，1

y＝－2.5x＝，2

55151所以－＜(a＋b)＜，－2＜－(a－b)＜－1.

222295113所以－＜(a＋b)－(a－b)＜，

2222913913－，.

即－＜2a＋3b＜.故填2222点

拨：

由于a＋b，a－b的范围已知，所以要求2a＋3b的取值范围，只需将2a＋3b用已知量a＋b，

a－b表示出来，可设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，用待定系数法求出x，y，再利用同向不等式的可加性求解．

ππ

(1)若角α，β满足－<α<β<，则

2α－β的取值范围是________．

22ππππππππ解：因为－＜α＜β＜，所以－＜α＜， －＜β＜，－＜－β＜，而α＜β，所以－π＜

α222222223ππ3ππ－，.故填－，.

－β＜0，所以2α－β＝(α－β)＋α∈2222xx2(2)(2016·云南模拟)若－1≤lg≤2，1≤lg(xy)≤4，则lg的取值范围是________．

yyx解：由1≤lg(xy)≤4，－1≤lg≤2，

y得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，

x213则lg＝2lgx－lgy＝(lgx＋lgy)＋(lgx－lgy)，

y22x2所以－1≤lg≤5.故填[－1，5]．

y类型四

比较大小

(2016·武汉模拟)已知a1≤a2，b1≥b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．

解：a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，因为a1≤a2，b1≥b2，所以a1－a2≤0，b1－b2≥0，于是(a1－a2)(b1－b2)≤0，故a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.故填a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.

点

拨：

作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．

已知a<0，－1

(

) A．a>ab>ab2

B．ab2>ab>a

C．ab>a>ab2

D．ab>ab2>a

解：由于每个式子中都有a，故先比较1，b，b2的大小．因为－1ab2>a.故选D.

1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．

2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提

条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．

3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．

4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．

5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．

6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．

1．两个实数大小的比较

(1)a＞b⇔a－b________；

(2)a＝b⇔a－b________；

(3)a＜b⇔a－b________. 2．不等式的性质

(1)对称性：a>b⇔__________；

(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；

(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；

(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，

不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；

(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；

※(6)异向不等式相减：a>b，c

(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________；

ab※(8)异向不等式相除：a>b>0，0

cd11

※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒＜；

ab(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；

(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．

※注：(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．

自

查

自

纠：

1．＞0

＝0

＜0 2．(1)b

(2)a>c

(3)>

(4)ac>bc

ac

(5)a＋c>b＋d

(7)ac>bd

(10)an>bn(n∈N且n≥2) nn(11)a>b(n∈N且n≥2)

(教材题改编)若－1＜a＜b＜1，则

(

) A．－2＜a－b＜0

B．－2＜a－b＜－1 C．－1＜a－b＜0

D．－1＜a－b＜1 解：－1＜a＜1，－1＜－b＜1⇒－2＜a－b＜2.又a＜b，则－2＜a－b＜0.故选A.

(2016·四川成都模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中一定成立的是

(

) 1a1b11A.＜

B.2＜2

ab11bb＋1C．a＋＜b＋

D.＜

baaa＋111b－a解：因为a＜b＜0，所以b－a＞0，ab＞0，－＝＞0，因此A错误；由函数f(x)abab

11＞1，B错误；由a＋1－b＋1＝

(a－b)1＋1＜0知C正＝是减函数知222baab确．或用特值法，取a＝－2，b＝－1，排除A，B，D.故选C.

(2016·贵州模拟)若a，b都是实数，则

“a－b>0”是“a2－b2>0”的

(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解：由a－b>0得a>b≥0，由a2－b2>0得a2>b2，即|a|＞|b|，所以“a－b>0”是“a2－b2>0”的充分不必要条件．故选A.

已知a＝27，b＝6＋22，则a，b的大小关系是a________b. 解：由于a＝27，b＝6＋22，平方作差得a2－b2＝28－14－83＝14－83＝784－3＞0，从而a＞b.故填＞.

(2017·北京)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．

解：a，b，c是实数，若a＞b＞c＞0，不等式a＋b＞c成立；a，b，c是实数，若a＞0＞b＞c，不等式a＋b＞c成立；a，b，c是实数，若0＞a＞

b＞c，a＋b＝c，不等式a＋b＞c不成立，一组整数a，b，c的值为负数，依次为－1，－2，－3.故填

－1，－2，－3.

xab类型一

建立不等关系

(2016·湖南模拟)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于108 m2，靠墙的一边长为x

m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．

解：设矩形靠墙的一边长为x

m，

30－xx15－

m，

则另一边长为

m，即220＜x≤18，0＜x≤18，根据题意知

故填

xx15－15－x≥108.x≥108.22点

拨：

解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．

(2015·湖北改编)设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若[t2]＝4，则实数t的取值范围是________．

解：由已知有4≤t2＜5，所以2≤t＜5或

－5＜t≤－2.

故填(－5，－2]∪[2，5)．

类型二

不等式的性质

下列说法正确的是

(

) A．a，b∈R，且a＞b，则a2＞b2

abB．若a＞b，c＞d，则

＞

cdabC．a，b∈R，且ab≠0，则＋≥2 baD．a，b∈R，且a＞|b|，则an＞bn(n∈N*) 解：当a＝0，b<0时A选项不正确；

ab当a>0>b，0>c>d时，<0，>0，所以B选项不正确；

cdab当ab<0时，<0，<0，所以C选项不正确．

baD正确．故选D.

点

拨：

运用不等式性质解题时，先从各个代数式的正负性考虑问题，直接判断各式大小；当各个代数式的正负性一致时，可考虑用不等式的性质进行证明，得出正确选项．

若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(

) ababababA.＞

B.＜

C.＞

D.＜

cdcddcdc11aba解：由c＜d＜0⇒－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式性质，得－＞－＞0，所以dcdcdb＜.故选D.

c类型三

不等式性质的应用

α

(1)若1<α<3，－4<β<2，则－β的取值范围是________．

21α3α解：由1＜α＜3得＜＜，由－4＜β＜2得－2＜－β＜4，所以－β的取值范围是2222－3，11.故填－3，11.

2222点

拨：

1α3①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由＜＜和－4222α＜β＜2两式相减来得到－β的范围．②此类题目用线性规划也可解．

2(2)已知－1＜a＋b＜3且2＜a－b＜4，则2a＋3b的取值范围是________．

解：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，

x＋y＝2，所以解得x－y＝3，1

y＝－2.5x＝，255151所以－＜(a＋b)＜，－2＜－(a－b)＜－1.

222295113所以－＜(a＋b)－(a－b)＜，

2222913913－，.

即－＜2a＋3b＜.故填2222点

拨：

由于a＋b，a－b的范围已知，所以要求2a＋3b的取值范围，只需将2a＋3b用已知量a＋b，

a－b表示出来，可设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，用待定系数法求出x，y，再利用同向不等式的可加性求解．

ππ

(1)若角α，β满足－<α<β<，则

2α－β的取值范围是________．

22ππππππππ解：因为－＜α＜β＜，所以－＜α＜， －＜β＜，－＜－β＜，而α＜β，所222222223ππ3ππ－，.故填－，.

以－π＜

α－β＜0，所以2α－β＝(α－β)＋α∈2222xx2(2)(2016·云南模拟)若－1≤lg≤2，1≤lg(xy)≤4，则lg的取值范围是________．

yyx解：由1≤lg(xy)≤4，－1≤lg≤2，

y得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，

x213则lg＝2lgx－lgy＝(lgx＋lgy)＋(lgx－lgy)，

y22x2所以－1≤lg≤5.故填[－1，5]．

y类型四

比较大小

(2016·武汉模拟)已知a1≤a2，b1≥b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．

解：a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，因为a1≤a2，b1≥b2，所以a1－a2≤0，b1－b2≥0，于是(a1－a2)(b1－b2)≤0，故a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.故填a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.

点

拨：

作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．

已知a<0，－1

(

)

A．a>ab>ab2

B．ab2>ab>a

C．ab>a>ab2

D．ab>ab2>a

解：由于每个式子中都有a，故先比较1，b，b2的大小．因为－1ab2>a.故选D.

1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．

2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．

3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．

4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．

5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．

6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．