三 排序不等式名师教学设计

选修4-5

不等式选讲

排序不等式教案（第一课时）

广东省汕头市潮阳区河溪中学

高良华

教学目标：1.掌握排序不等式的基本形式，

2.熟悉排序不等式的证明过程.

过程与方法: 1.通过“探究-猜想-证明”研究排序不等式, 2.通过例题熟悉排序不等式的应用. 情感态度与价值观: 培养学生由特殊事物发现一般规律并进而证明一般规律的能力. 教学重点:

排序不等式的证明过程. 教学难点：排序不等式的证明思路及应用. 教学过程：

一、引入新课：（提出问题）

如图，设AOB，自点O沿OA边依次取n个点A1，A2，…，An，沿OB边也依次取n个点B1，B3，…，Bn，在OA边取某个点Ai与边OB某个点Bj连接，得到AiOBj，这样一一搭配,一共可得到n个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的AiOBj不同，问：OA边上的点与OB边上的点如何搭配，才能使n个三角形面积的和最大(或最小)？

1

二、讲解新课：

1、问题一般化：

一般地，设有两组实数：a1a2an，b1b2bn，设c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，记Sa1c1a2c2ancn. 问：什么情况下S取得最大？什么情况下S取得最小？

2、基本概念：

（1）Sa1c1a2c2ancn叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的乱序积的和；

（2）S1a1bna2bn1anb1叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的反序积的和；

（3）S2a1b1a2b2anbn叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的顺序积的和. 3、简单入手：

已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1,c2,c3是4,5,6的一个排列，则

1c12c23c3的最大值是_____,最小值是_____.

2

对

应

关

系

（1，2，3）

（4，5，6）

（1，2，3）

（4，6，5）

（1，2，3）

（5，4，6）

（1，2，3）

（5，6，4）

（1，2，3）

（6，4，5）

（1，2，3）

（6，5，4）

4、猜想结论：

和

备

注

顺序积的和

Sa1b1a2b2a3b332

Sa1b1a2b3a3b231

乱序积的和

Sa1b2a2b1a3b331

乱序积的和

Sa1b2a2b3a3b129

乱序积的和

Sa1b3a2b1a3b229

乱序积的和

Sa1b3a2b2a3b128

反序积的和

反序积的和乱序积的和顺序积的和，即S1SS2. 5、证明结论：

（1）分析最值的存在性：

∵a1a2an

, b1b2bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn任一个排列,且b1，b2，…，bn的全排列至多n!个，

∴Sa1c1a2c2ancn的不同值只有有限个(个数≤

n!)，其中必有最大值和最小值.

3

（2）一般性原理：

设ij，cicj，则

Sa1c1a2c2aiciajcjancn

①

将ci与cj

互换

，得

Sa1c1a2c2aicjajciancn

②

②−①得：SSaicjajciaiciajcj(aiaj)(cjci)0. （3）证明过程：

（利用上面一般性原理，对乱序积的和采用逐步调整法）

Sa1c1a2c2ancn

①

考虑①式，若c1b1，则有某ckb1

(k1)，c1ck，将①式中的第一项调换为a1b1后和式不减小.若c1b1，则转而考察c2，并进行类似讨论.. 类似地，将①式中的第一项调换为a1b1，第二项调换为a2b2后.和式不减小. 如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是数组ci}由小到大排序的情况，即

SS2. 同样可以证明，最小和数是反序积的和，即S1S. 至此我们证明了前面的猜想是正确的. 6、结论作定理：

排序不等式(又称排序原理)：设a1a2an，b1b2bn为两组实数, c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn任一个排列,则：

S1a1bna2bn1anb1（反序积的和）

Sa1c1a2c2ancn

（乱序积的和）

S2a1b1a2b2anbn（顺序积的和）

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(当且仅当a1a2an或b1b2bn, 反序积的和等于顺序积的和) 7、对引例的解决：

当点Ai与Bi连接时，所得三角形面积和最大；当Ai与Bn1i连接时，所得三角形面积和最小. 8、课本第44页例1的解决：

例1.

有10人各拿一只水桶去接水, 设水龙头注满第i(i=1, 2,…

…, 10)个人的水桶需要ti分钟, 假定这些ti各不相同, 问只有一个水龙头时, 应如何安排10人的顺序,使他们等候的总时间最少？这个最小时间等于多少？

分析:这是一个实际问题,需要将它数学化,即转化为数学问题. 若第一接水的人需要t1分钟，接这桶水时10人所需等候的总时间是10t1分钟；第二接水的人需要t2分钟，接这桶水时9人所需等候的总时间是9t2分钟；如此继续下去，到第10人接水时，只有他一人在等，需要t10分钟.所以，按这个顺序，10人都接满水所需的等待总时间（分钟）是10t19t2t10.现要考虑t1，t2，，t10满足什么条件时这个和数最小. 解：等待总时间（分钟）是10t19t2t10.根据排序不等式，当t1t2t10

时，总时间取最小值.这就是说，按水桶的大小由小到大依次接水，10人等候的总时间最少，这个最少的总时间是10t19t2t10. 其中t1t2t10.

9、课本第45页练习2的解决：

例2：已知a,b,c为正数,求证：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ca)c2(ab)

证明：不妨设0aabbcc,则a2a2b2b2c2c2. 由排序原理得,a3a3b3b3c3c3a2ba2cb2cb2ac2ac2b

所以2(a3b3c3)a2(bc)b2(ca)c2(ab).

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当且仅当abc时等号成立. 10、课本第45页练习3的解决：

设a1，a2，a3为正数，求证：a1a2a2a3a3a1＋＋≥a1＋a2＋a3. a3a1a2111证明：不妨设0

a3a2a1由排序不等式：顺序积的和≥乱序积的和，得

a1a2a3a1a2a3111＋＋≥·a1a2＋·a1a3＋·aa＝a2＋a1＋a3. a3a2a1a1a3a223即a1a2a2a3a3a1＋＋≥a1＋a2＋a3. a3a1a2三、课堂小结：

1、排序不等式的一般情形：

一般地，设有两组实数：a1，a2，a3，…，an与b1，b2，b3，…，bn，且它们满足：a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，

若c1，c2，c3，…，cn是b1，b2，b3，…，bn的任意一个排列，则和数a1c1a2c2ancn在a1，a2，a3，…，an与b1，b2，b3，…，bn顺序时最大，反序时最小，即：

a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，

等号当且仅当a1a2an或b1b2bn时成立。

2、解题要点：

排序不等式有着广泛的实际应用，在应用时，一定在认真分析题设条件的基础上观察要证结论的结构特征，从而分析出要用排序原理中反序积的和≤乱序积的和，或是乱序积的和≤顺序积的和，或者反序积的和≤顺序积的和．

四、课后作业

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1.设a,b,cR,试证a12b12c12a10b10c10bccaab

2.在ABC中,试证:3aAbBcCabc2

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