探究与发现 组合数的两个性质特级教师教学实录

1.2.1 排列的概念

课前预习学案

一、学习目标

1.了解排列、排列数的定义；掌握排列数公式及推导方法；

2. 能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列，并能运用排列数公式进行计算。

3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。

学习重难点：

教学重点：排列的定义、排列数公式及其应用

教学难点：排列数公式的推导

二、学习过程

合作探究一：

排列的定义

问题

（1）从红球、黄球、白球三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里

（2）从10名学生中选2名学生做正副班长；

（3）从10名学生中选2名学生干部；

上述问题中哪个是排列问题？为什么？

概念形成

1、元素： 。

2、排列：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

．．．．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：① ②按一定的 排列（与位置有关）

（2）两个排列相同的条件：①元素 ，②元素的排列 也相同

合作探究二

排列数的定义及公式

3、排列数：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号表示

议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？

4、排列数公式推导

探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数An是多少？An呢？An呢？

即学即练: 42531.计算 (1）A10；

(2）A5

；(3)A5

A3m2.已知A1010923m5，那么m

1

3．kN,且k40,则(50k)(51k)(52k)(79k)用排列数符号表示为( ) 50k293030A．A79BDC ． ． ．AAAk79k79k50k

例1．

计算从a,b,c这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。

解析：（1）利用好树状图，确保不重不漏；（2）注意最后列举。

解：

总结：

变式训练：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？并写出所有的排列。

5 、全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的 。

此时在排列数公式中，

m = n

n全排列数：Ann(n1)(n2)21n!（叫做n的阶乘）. 253想一想：由前面联系中（ 2 ) ( 3 ）的结果我们看到，A5和A5有怎样的关系？A3那么，这个结果有没有一般性呢？

排列数公式的另一种形式：

mAnn!

(nm)!另外，我们规定 0! =1 . 想一想：排列数公式的两种不同形式，在应用中应该怎样选择？

mm1m例2．求证：AnmAAnn1． 解析：计算时，既要考虑排列数公式，又要考虑各排列数之间的关系；先化简，以减少运算量。

解：

点评：(1)熟记两个公式；（2）掌握两个公式的用途；(3)注意公式的逆用。

思考：你能用计数原理直接解释例2中的等式吗？（提示：可就所取的m个元素分类，分含某个元素a和不含元素a两类）

75AnAn变式训练：已知（n=15）

89，求n的值。5An

2

三、反思总结

1、

是排列的特征；2、两个排列数公式的用途：乘积形式多用于

，阶乘形式多用于

或

。

四、当堂检测

1．若xn!，则x （

）

3!3n3n3 (B)An (C)A3 (D)An(A)An3

532．若Am，则m的值为 （

）

2Am(A)5 (B)3 (C)6 (D)7

23．

已知An56，那么n ；

4．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？

课后练习与提高

1．下列各式中与排列数An相等的是（

）

mmnAnn!1m11（A）

（B）n(n－1)(n－2)……(n－m) （C）

（D）AnAn1

nm1(nm1)!2．若

n∈N且

n<20，则(27－n)(28－n)……(34－n)等于（

）

827n78

（A）A27n

（B）A34n

（C）A34n

（D）A34n

1233．若S=A1A2A3100，则S的个位数字是（

）

A100

（A）0

（B）3

（C）5

（D）8 24.已知A26Ann-5，则n=

。

542A87A85.计算

。

5A8A891An16．解不等式：2＜n42

n1An1

3