1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教学目标

§1.1 回归分析的基本思想及其初步（一）

【学情分析】：

教学对象是高二文科学生，学生已经初步学会用最小二乘法建立线性回归模型的知识，并能用所学知识解决一些简单的实际问题。回归分析是数理统计中的重要内容，在教学中，要结合实例进行相关性检验，理解只有两个变量相关性显著时，回归方程才具有实际意义。在起点低的班级中注重让学生参与实践，结合画图表的方法整理数据，鼓励学生通过收集数据，经历数据处理的过程，从而认识统计方法的特点，达到学习的目的。

【教学目标】：

（1）知识与技能：

回忆线性回归模型与函数模型的差异，理解用最小二乘法求回归模型的步骤，了解判断两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。

（2）过程与方法：

本节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线方程。

（3）情感态度与价值观：

从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。

【教学重点】： 1、了解线性回归模型与函数模型的差异； 2、了解两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。

【教学难点】：

1、了解线性回归模型与一次函数模型的差异；

2、了解偏差平方和分解的思想。

【课前准备】：

课件

【教学过程设计】：

教学环节

一、创设情境

教学活动

问题一：一般情况下，体重与身高有一定的关系，通常个子较高的人体重比较大，但这是否一定正确？（是否存在普遍性）

提出问题，引导学生判断体重与身高之间的关系（函数关系、相关关系）

（学生思考、讨论。）

问题二：统计方法解决问题的基本过程是什么？

提出问题，引导学生回忆用最小二乘法求回归直线方程的方法。

（由学生回忆、叙述）

回归分析的基本过程：⑴画出两个变量的散点图；

⑵判断是否线性相关

⑶求回归直线方程（利用最小二乘法）

⑷并用回归直线方程进行预报

问题三：思考例1：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示。求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。

设计意图

复习回归分析用于解决什么样的问题。

复习回归分析的解题步骤

二、例题选讲

复习统计方法解决问题的基本过程。

- 1 -

编号

身高/cm

1

165

2

165

3

157

4

170

5

175

6

165

7

155

8

170

学生动手画散点图，老师用EXCEL体重/kg

48

57

50

54

64

61

43

59

的作图工作演示，题目中表达了哪些信息？

并引导学生找出两师：读例1的要求，引导学生理解例题含义。

个变量之间的关（例题含义：①数据体重与身高之间是一种不确定性的关系

系。 ②求出以身高为自变量x，体重为因变量y的回归方程。

③由方程求出当x = 172时，y的值。

生：思考、讨论、叙述自己的理解，归纳出题目中的信息。

根据以前所学的知识，让学生自己动手求出回归方程

求解过程如下：

①画出散点图，判断身高x与体重y之间存在什么关系（线性关系）？

学生经历数据70

处理的过程，并借

65助EXCEL的统计功

能鼓励学生使用计60

算器或计算机等现

55代工具来处理数

据。 50

45

40

150155160165170175180

②列表求出相关的量，并求出线性回归方程

ˆ代入公式有bxyii1nninxynx2xi12i723158165.2554.50.848

22187748165.25ˆybx54.50.849165.2585.712

aˆx0.849x85.712

ˆaˆb所以回归方程为y

- 2 -

③利用回归方程预报身高172cm的女大学生的体重约为多少？

ˆ0.84917285.71260.316kg

当x172时，y引导学生复习总结求线性回归方程的步骤：

第一步：作散点图—→第二步：求回归方程—→第三步：代值计算

三、探究新知

问题四：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？

（不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右.）

师：提出问题，引导学生比较函数模型与线性回归模型的不同，并引出相关系数的作用。

生：思考、讨论、解释

解释线性回归模型与一次函数的不同

从散点图可观察出，女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次函数ybxa来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模引导学生了解线性回归模型与一次函数的不同

型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3

名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述

体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这

就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e

（即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型ybxae，其中残差变量e中包含体重不能由身高的线性函数解释的

所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型.

因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次

函数模型的一般形式.

问题五：如何衡量两个变量之间线性相关关系的强弱呢？

引导学生在解n决具体问题的过程xixyiy中，通常先进行相i1相关系数：r

关性的检验，确认nn两变量间的线性相xix2yiy2i1i1关关系的强弱再求相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们线性回归方程。

的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此

时建立的线性回归模型是有意义；相关系数的绝对值越接近于0，两个变

量的线性相关关系几乎不存在，它们的散点图越离散，通常当r大于0.75

时，认为两个变量有很强的线性相关关系。

问题六：例1中由体重与身高建立的线性相关关系有无意义？

结合实例的分生：动手计算本例中两个变量之间的相关系数，r0.798，表明体析和研究，正确地重与身高有很强的线性相关关系，从而表明我们建立的回归模型是有意义进行相关性检验。

的。

四、巩固练习

1．

假设关于某设备的使用年限x和支出的维修费用y（万元），有如下表的统计资料。试求：

使用年限x

2

3

4

5

6

巩固知识

- 3 -

维修费用y

⑴画出数据的散点图；

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

⑵若x与y呈线性相关关系，求线性回归方程

y ＝

bx + a

的回归系数a、b；

⑶估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

答案：⑴散点图如图：

⑵由已知条件制成下表：

yi876543210024xi68i

1 2 2.2 4.4 4 n2 3 3.8 11.4 9 n3 4 5.5 22.0 16 4 5 6.5 32.5 25 5 6 7.0 42.0 36 xi

xi

xiyi

2xi

x4； y5；

xi12i90；xiyi112.3

i1112.354512.31.23

1090542ˆx51.2340.08

ˆybaˆ1.23x0.08，

⑶

回归直线方程是y当x10时，y1.23100.0812.38（万元）

ˆ于是有b即估计使用10年时维修费用是12.38万元。

五、小结

1．

熟练掌握求线性回归方程的步骤；

⑴画出两个变量的散点图；

⑵判断是否线性相关；

⑶求回归直线方程（利用最小二乘法）；

⑷并用回归直线方程进行预报。

2．

理解线性回归模型与一次函数的不同；

一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 3．

了解相关系数的计算与解释。

反思归纳

相关系数：rxi1nixyiy2xi1nixyi1n

iy2相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们

- 4 -

的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义；相关系数的绝对值越接近于0，两个变量的线性相关关系几乎不存在，它们的散点图越离散，通常当r大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系。

练习与测试

ˆ22.5x，则变量x增加一个单位时，则（ C ）

1．

设有一个回归方程为yA．y平均增加2.5个单位 B．y平均增加2个单位

C．y平均减少2.5个单位 D．y平均减少2个单位

2．

在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ B ）

A．预报变量在x轴上，解释变量在y轴上 B．解释变量在x轴上，预报变量在y轴上 C．可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上 D．可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上

3．

已知x与y之间的一组数据：

x y 0 1 1 3 2 5 3 7 ˆxaˆbˆ必过（ D ）

则y与x的线性回归方程为yA．（2，2）点

B．（1.5，0）点 C．（1，2）点 D．（1.5，4）点

4．

已知两个相关变量x与y具有线性相关关系，当x取值1，2，3，4时，通过观测得到y的值分别为1.2，4.9，8.1，12.8，这组样本点的中心是（ D ）

A．(2，4.9) B．(3，8.1) C．(2.5，7) D．(2.5，6.75) 5．

一位母亲记录了儿子3—9岁的身高，数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ C ）

A．身高一定是145.83cm B．身高在145.83cm以上 C．身高在145.83cm左右 D．身高在145.83cm以下

6．

在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2）、B（2，3）、C（3，4）D（4，5），则y与x之间的回归直线方程为（ A ）

ˆx1 B．yˆx2 C．yˆ2x1 D．

yˆx1

A．y7．

有下列关系：⑴人的年龄与其拥有的财富之间的关系；⑵曲线上的点与该点的坐标之间的关系；⑶苹果的产量与气候之间的关系；⑷森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑸学生与其学号之间的关系。其中有相关关系的是__________。

答案：

⑴⑶⑷ 8．

许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时，收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比（x）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比（y）的数据，建立的回归直线方程如下：y0.8x4.6。斜率的估计等于0.8说明__________________，成年人受过9年或更少教育的百分比（x）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比（y）之间的相关系数__________________（填充“大于0“或”小于0“）。

答案：

⑴⑶⑷ ˆ2504x，9．

若施化肥量x与小麦产量y之间的回归直线方程为y当施化肥量为50kg时，

- 5 -

预计小麦产量为__________。

ˆ250504450。

解析：当x50时，y答案：450kg。

10．

在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间t之间对应的一组数据：

时间

t（s）

深度

y（μm）

5 6 10 10 15 10 20 13 30 16 40 17 50 19 60 23 70 25 90 29 120 46 （1）画出散点图；

（2）求腐蚀深度y对腐蚀时间t的回归直线方程.

解：（1）散点图为

（2）经计算可得

112y50403020101111i1i1i1

23510152004050607090t46.36,y19.45,ti36750,yi5442,tiyi13910.

120ttyi11i11ty22b=i1i111ti11t139101146.3619.45≈0.3，

367501146.362a=y－bt=19.45－0.3×46.36≈5.542. 故所求的线性回归方程为y=0.3t+5.542. ^

- 6 -