阅读与思考 海伦和秦九韶优秀教案范文

第一章、解三角形

1.2应用举例（阅读与思考）——海伦和秦九韶

一、教学目标

1、理解海伦与秦九韶面积公式的推导过程。

2、会用海伦与秦九韶面积公式解决一些简单的数学问题，体会海伦与秦九韶面积公式在处理与三角形三边有关的面积问题上的优越性。

3、通过介绍相关的数学史激发学生学数学的兴趣，培养学生的人文精神，增强学生的名族自豪感。

二、教学重点与难点

重点：（1）海伦与秦九韶面积公式的推导；

（2）应用海伦与秦九韶面积公式解决一些简单的数学问题。

难点：(1)如何合理选择海伦与秦九韶面积公式解决实际问题；

(2)理解海伦与秦九韶面积公式在处理与三角形三边有关问题上的优越性。

三、教学过程设计

（一）情景引入

我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）的著作《数学九章》卷五“田域类”里有个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为几何.”

转化为数学语言为下列图形：

设计意图：从数学史角度看，用自己本民族的语言叙述数学问题能够拉近学生的心理距离，同时让学生了解本民族的数学名词，增强对本民族数文化的认同感，激发学习兴趣。

用符号语言表述即为：

在ABC中，已知a15,b14,c13，

求三角形的面积SABC. 思考：你有哪些方法呢？

设计意图：为引入秦九韶面积公式作铺垫。

（二）问题导学

问题1、我国古代数学家秦九韶在《九章算术》中记录了“三斜求积术”，即已知三角形的122a2c2b22三边边长，求它的面积，用现代面积公式可以表示为：S[ac()]你42能推导该公式吗？

a2c2b2证明：由余弦定理：

cosB2ac，a2c2b21112SacsinBac1cosBac1

2222ac2

1

2122122a2c2b2122a2c2b22acac[ac()]442ac42

122a2c2b22即S[ac()].

42

设计意图：让学生从现有的知识出发推导秦九韶面积公式，体会任何数学公式的产生都是有理有据的，数学是自然的。

问题2、已知三角形的三边边长，求它的面积，还可以借助海伦公式

Sp(pa)(pb)(pc)，其中pabc，你能借助秦九韶面积公式推导海伦公2式吗？

设计意图：让学生通过等式变形，学会知识间的融会贯通，感受数学变中之不变的美感，让学生体会中西数学家的珠联璧合，交相辉映。东西方数学家为数学的发展都作出应有的贡献，不同的表达方式讲述了相同的内容，学生可从中感受数学统一美，同时也增强了名族自豪感。

追问1：你还有其他方法推导秦九韶、海伦面积公式吗？

设计意图：激发学生的探究兴趣，若学生能探讨出其他方法，则可以给学生展示自己的机会，若学生课堂上无法解决，教师可以引导学生课后专研思考。

解：如图，

2222a2b2c2abc222222bxcax，则x，所以hb

2a2aa2b2c212则hab

a2所以SABC2111aha22a22222222abc1abc22abab

242

问题3、从公式的形式来看海伦与秦九韶面积公式的共同点是什么？哪个更简洁？

共同点：都是用三角形三边来表示面积，从公式形式来看海伦公式更简洁。

追问2：秦九韶公式的结构形式比较复杂，是不是秦九韶面积公式没有海伦公式好用呢？

如：在三角形ABC中，a10,b13,c5，求三角形ABC的面积。哪个公式用起更方便呢？（7/2）

设计意图：让学生体会在应用公式解决问题时，不同公式的结构特征在使用过程中的不同效果。

（三）典例导析

例、我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为

2

122a2c2b222S[ac()]．若asinC4sinA，(ac)212b2，则用“三斜求积”42公式求△ABC的面积. 解：根据正弦定理：由a2sinC4sinA得ac4，

由(ac)212b2得a2c2b24，则SABC1(164)3．

4设计意图：让学生会用秦九韶面积公式去求与三角形三边有关的面积问题。

追问：如果不用秦九韶面积公式，如何求该三角形面积呢？

设计意图：为引入变式题，海伦与秦九韶面积公式在有些问题的优越性上作铺垫。

变式1：在ABC中，若a+b=12，c=8，请用海伦公式求ABC面积的最大值. abcp10，ab12，

2解：由已知：Sp(pa)(pb)(pc)20(10a)(10b)52(10a)(10b)

5[(10a)(10b)]85. 当且仅当10a10b即ab时取等号。

∴Smax85. 追问1：试一试用秦九韶面积公式求解，运算量怎么样？2122a2b2c22122ab2abc2S[ab()][ab()]424221221442ab642122[ab()][ab(40ab)2]424

20ab2020a212a2025a6162设计意图：让学生体会在使用海伦和秦九韶面积公式时，如何选择。

追问2：如果不用海伦与秦九韶面积公式，如何求该三角形面积的最大值呢？

解：由余弦定理可得：

64a2b22abcosCab2(1cosC)ab1442(1cosC)ab2, ab40120sinCCSabsinC20tan1cosC，21cosC2

1tan2Ca2b2c2802ab40402cosC11C2ab2ababa12a

1tan22acba812aa22a10

又bca12a8aa10

3

CC25251121cosC,1tan,

所以当则，则C925592，1tan21tan2所以S20tanC852

设计意图：让学生体会使用海伦公式在处理三边相关的三角形面积最值问题上的优越性。

变式2：在ABC中，若b2，请用秦九韶公式（三斜求积术）求ABCsinC3sinA，面积的最大值. 解：由sinC3sina得c3a，

122a2c2b2212a23a22222S[ac()][a3a()]

4242111[3a4(4a48a24)](a48a24)(a24)23444

2当a4即a2时，Smax3. 追问1：如果用海伦公式求解，运算量怎么样？

Sp(pa)(pb)(pc)213a22....31a13a2213a

222设计意图：让学生体会在使用海伦和秦九韶面积公式如何选择。

追问2：如果不用海伦与秦九韶面积公式，如何求该三角形面积的最大值呢？

解：由余弦定理可得：a2223cosB，4a2c22accosB4a223a2cosB, S

设计意图：让学生体会使用秦九韶公式在处理三边相关的三角形面积问题上的优越性。（四）反思导悟

1、海伦与秦九韶面积公式是如何推导的？

2、海伦与秦九韶面积公式的共同点是什么？一般用于处理什么问题？

3、在选择海伦公式还是秦九韶公式时，选择的依据一般是什么？

（五）反馈导练

1.在△ABC中，角A，B，C，所对边分别为a，b，c，若a=12cm，b=14cm，c=16cm，则

△ABC的面积是多少？2115

设计意图：三条边较大的三角形，用海伦公式便于计算

2.在△ABC中，角A，B，C，所对边分别为a，b，c，若a=6，b=7，c=8，则△ABC1323sinBacsinBasinB....2223cosB

4

的面积是多少？143

4设计意图：含根号的三条边用“三斜求积”公式便于计算；

3.

在△ABC中，角A，B，C，所对边分别为a，b，c，若a=15，b=8，c=17，则△ABC的面积是多少？60 设计意图：三边长是三个勾股数，其意图在于考察学生的观察、灵活应变的能力。

4.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为122c2a2b2ca实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S422.现有周长为225的△ABC满足sinA:sinB:sinC公式求得△ABC的面积为 .21:5:21，用以上给出的3

4设计意图：会用秦九韶面积公式求三角形的面积。

5.定义一种四边形，四边长为整数，且它的面积也为整数的四边形，称之为海伦—秦九韶四边形．下列四边形中是海伦—秦九韶四边形的为（ A ）

设计意图：本题是新概念题，为课后的思考题海伦公式是否能推广到四边形作铺垫。

课后思考：将海伦公式推广到四边形，设a,b,c,d是四边形ABCD的各边长，记abcd. Sp(pa)(pb)(pc)(pd)，这里p2问：这个公式对任意的四边形是否成立？

设计意图：激发学生课外探究的兴趣，为学有余力的同学指明研究方向。

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