小结教案1

一元二次不等式中的恒成立问题教学设计

曲周县第一中学

张丽芬

一、教材分析：

本节课主要内容是继一元二次不等式及其解法之后的一个拓展和补充，同时也是对研究函数和不等式的一个渗透。通过知识提炼，引出我们这节课的主题一：将一元二次不等式中的恒成立问题转化为一元二次不等式的解集为R问题处理。

通过例1例2让学生直观了解一元二次不等式恒成立所需的条件；然后通过例3让学生深入理解一元二次不等式恒成立所需条件，以及通过此道题的解法的繁琐性让学生探索是否还有其它方法，从而引出本节课主题二：将一元二次不等式中的恒成立问题转化为求最值问题处理；最后通过例4让学生考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．

四个例题，由浅入深，层层递进，即学会解题方法，又总结了规律，同时又渗透了数学思想。

二、学情分析：

本节课的教学对象是高二学生，学生的基本情况是：已经熟练掌握一元二次不等式的解法，能利用图象解决较简单的方程和不等式问题，但对含参的一元二次不等式、恒成立问题缺少办法，主要表现在题意的理解以及合理的等价转化，不善于利用三个“二次”之间的内在联系灵活转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不完整，没有形成模式。

三、教学分析：

教学目标：

1.

理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系；

2.

掌握一元二次不等式的恒成立问题的等价转化；

3.

通过用不等式、函数、方程表述数量关系的过程，体会模型思想、建立分类讨论意识以及数形结合观点和普遍联系的辨证观；

4.

经历从不同角度寻求分析问题和解决问题方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。

教学重难点：

重点：一元二次不等式中的恒成立问题的等价转化。

难点：含参不等式的讨论和恒成立问题的正确有效等价转化。

教学策略：

在“教师是主导，学生是主体”理念指导下，本节课主要采取探究式教学方法，即“问题驱动——小组讨论——启发诱导——探索结果——拓展提高”，注重“引、导、思、探、归”的有机结合。引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣，主动参与，积极体验，自主探究，总结提高的学习方式，形成师生互动的教学氛围，充分调动学生的学习积极性，为学生提供自主探究，自主学习的时间和空间。

教法：（1）启发式教学，始终以问题驱动，引导学生在不断思考中获取知识；（2）互动式教学，体现在提问，例题探索，学生板演，课堂练习，小结等方面，引导学生积极参与。

课堂教学突出以下三个方面：①导——教师引导，循序渐进；②动——师生互动，小组讨论，共同探索；③归——归纳总结，拓展提高。

四、课堂进程：

环节一：知识提炼

1.

将一元二次不等式中的恒成立问题转化为一元二次不等式的解集为R问题处理：

a0）.axbxc0(a0)恒成立

（

1

02a0）.axbxc0(a0)恒成立

（

2

02环节二：典例剖析

【例1】.设函数f(x)xmx1，若对xR，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围. 2【设计意图】直接利用转化模型直接求m40即可. 2【例2】

设a为常数,∀x∈R,ax2+ax+1>0 ,求a的取值范围。

【设计意图】在例1的基础上增加参数的讨论是否为一元二次不等式，再计算

a24a所需满足的条件.

解：因为∀x∈R,ax2+ax+1>0, 当a=0时,即1>0 恒成立；

当a0时，则

必有

得0a4

综上，a的取值范围为0,4

3变式

若不等式2kx2kx0对一切实数x恒成立,则k的取值范围为8(

)

A.(-3,0] B.[-3,0) C.[-3,0] D.(-3,0)

思考

不等式在R上恒成立的条件是什么?

【设计意图】通过变式，让学生进一步深化巩固例2 解：因为2kx2+kx<0对一切实数x恒成立,

当k0时，不等式可化为

当k0时，则必有

30，恒成立; 8解之得-3

3k0

所以

选A

【例3】

设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.

思考：解决在给定区间上恒成立问题有哪些方法?

【设计意图】继例1和例2之后，本题主要考查二次函数在给定区间上恒成立，需要对参数进行进一步的讨论。同时通过本题的另一种解法引出本节课的第二个主题：将一元二次不等式中的恒成立问题转化为求最值问题处理。

解

要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,即mm-6<0在x∈[1,3]上恒成立.

方法一:令g(x)=mm-6,x∈[1,3].

当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以g(x)max=g(3)⇒7m-6<0.

所以m<.所以0

当m=0时,-6<0恒成立; 当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以g(x)max=g(1)⇒m-6<0,所以m<6. 所以m<0. 综上所述,m的取值范围是

方法二:因为x-x+1=2>0, 又m(x-x+1)-6<0,所以m<2.

在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.

因为函数y=所以m的取值范围是.

变式

已知函数f(x)＝－x2＋2x＋b2－b＋1(b∈R)，若当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是________．

【设计意图】进一步巩固例3，让学生自主解答。

【解析】依题意，f(x)的对称轴为x＝1，且开口向下，

∴当x∈[－1,1]时，f(x)是增函数．

若f(x)>0恒成立，则f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1>0，即b2－b－2>0，∴(b－2)(b＋1)>0，∴b>2或b<－1.

【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞) 例4

对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是

.

思考：如何求解给定参数范围的恒成立问题?

【设计意图】某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把参数当做函数的自变量，得到一个新的函数，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化。 解：对任意的k∈[-1,1],x2+(k-4)x+4-2k>0恒成立, 即g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)>0在k∈[-1,1]上恒成立.

只需即

(-∞,1)∪(3,+∞)

解之得x<1或x>3.

变式 设函数f(x)=mx-mx-1.若f(x)<0对于

m1,2恒成立，求实数 x 的取值范围。 2解设gmmx2mx1x2xm1,其图像是直线，当m1,2时，图像为一条线段，则g10,g20,xx10,即2x22x10,2

1-313x.221-313故x的取值范围为2，2.解得【设计意图】进一步巩固例4，让学生深化理解掌握这种方法和数学思想。

环节三：总结归纳

这节课我们学习了一元二次不等式中的恒成立问题，有两种等价转化：

1.将一元二次不等式中的恒成立问题转化为一元二次不等式的解集为R问题处理：

a0）.axbxc0(a0)恒成立

（

1

02a0）.axbxc0(a0)恒成立

（

2

022.将一元二次不等式中的恒成立问题转化为求最值问题处理，即：

（1）.kf(x)恒成立，kf(x)ma

x(2).kf(x)恒成立，kf(x)min

环节四：课后练习

kx2kx62对xR恒成立，求实数k的取值范围；1.已知不等式2；

xx2x2ax30对x1,3恒成立，求实数a的取值范围；

2.已知不等式23.若不等式2x1mx1

对所有m2,2都成立，则x的取值范围__________. 2

五、课后反思

本节课通过知识提炼引出课题，再通过例1，例2，例3层层深入，而且例3的另一种解法引出本节课的主题2。总之，本节课很自然地将三维目标和数学核心素养融入到教学过程，既让学生学到了知识与技能，体现了“不等式的恒成立问题”的必要性和重要性，同时培养了学生小组协作、分析概括能力和迁移能力，为学生今后进一步学习函数与不等式内容奠定了良好的基础。