3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优质课教案推荐

主备课人：万久国

审核人：

邓成兵

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课题：§3.1.1数系的扩充与复数的概念

【课 题 引 入】

我们回顾一下所学的数系的发展过程: NZQR,我们以前的数学学习都是在R范围内研究，最典型的问题就是在R范围内研究一元二次方程的根的问题，如：x1在R范围内有两个实数根；那么x1的解的情况是怎样的呢？

复数是16世纪人们在研究求解、一元三次方程的问题时引入的．大约经过了一个世纪，才逐步形成完整的理论．现在，它已在数学、力学、电学以及其他科学里获得广泛应用，成为现代科学技术中普遍使用的一种数学工具．复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础，在初等数学的范围内，它与平面解析几何、三角函数、指数和对数等也有密切的联系，为解决一些问题提供了方便．因此，复数也属于初等数学的基础知识．

22 【学 习 目 标】

【学习目标】

1．了解复数产生的背景，体会理解数系的扩充是与生活密切相关的；

2. 能举例说明复数及其相关概念；

【学习重点】

复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。

【二 次 备 课】

一、标高确定及例题增删：

1. 删掉：

2．增加：

二、教学流程：

【课 前 学 习】

一、

自主探究：阅读教材P50-51

（一）数系的扩充：

1.

提问：N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？

2.

判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：

22（1）x1

（2）x2

（3）x210

【思考】人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。

讨

论：（1）若给方程x210一个解i，则这个解i要满足什么条件？i是否在实数集中？

（2）引入虚数单位i后，实数a与i相乘、相加的结果应如何？

（三）复数的代数形式的认识：在“zabi(aR,bR)”中请说明其各构成的名称，并能举例说明。

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（四）复数集的表示：

【课堂学习过程】

一、

课前学习成果交流：

二、

新知探讨：

（一）虚数单位i的认识：

（二）复数的代数形式：zabi(aR,bR)

【特别地】两复数相等的规定：abicdi(a,b,c,dR)

（三）复数集及复数的分类：

1. 复数集的表示：

2. 复数的分类及图示：

【易错点】

三、

问题探究：

例1．下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

23i,84i,83i,6,i,29i,7i,0

例2. 实数m取什么值时，复数zm1(m1)i(mR)分别是：

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。

【变式】已知复数abi与3(4k)i相等，且abi的实部、虚部分别是方程x24x30

的两根，试求：a,b,k的值。（讨论3(4k)i中，k取何值时是实数？）

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四、学习总结：

1.

复数的代数形式：zabi(aR,bR)及分类

2.

zabi(aR,bR)为纯虚数

3.

思考：两复数能比较大小吗？

【学 习 测 评】 【学习评价一】教材P52练习

【学习评价二】

1. 指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。

23i,84i,80i,6,i,29i21,7i,0

32．如果用C,R,I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，那么有（

）

A.CRI

B．RI{0}

C.CRCI D．RIΦ

3. 若x是实数，y是纯虚数且满足2x12iy，则x

，y

．

4 若(3x2y)(5xy)i172i，则x,y的值是？

5．已知i是虚数单位，复数Zm2(1i)m(23i)4(2i)，当m取何实数时，z是：

（1）实数

（2）

虚数

（3）纯虚数

（4）零

教学（学习）反思

知 识 链 接

高考《考纲》对复数的要求是：理解复数的基本概念，复数相等的条件．2．了解复数的代数表示法及几何意义．3．理解复数代数形式的四则运算．4．了解复数代数形式加减法的几何意义．

高考命题趋势是：1．能正确运用复数的加减法的几何意义解决相关问题．2．能正确进行复数代数形式的四则运算．

复数的运算是本章的重点，是每年必考的知识点之一．复数的代数形式的运算：①加减法按合并同类项法则进行；②乘除法按二项式乘法法则进行；③乘方按二项式展开公式．因此，一些复数问题只要设zabi(a,bR)，代入原式后，就可以将复数问题化归为实数问题来解决．对i的自然数次幂的周期性、的性质也应掌握．

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课题：§3.1.2复数的几何意义

【课 题 引 入】

我们研究一下复数的代数形式：zabi(aR,bR)，我们也可以看到其本质上也可以理解为二维数对，这就让我们想到了二维坐标(a,b)，如果二者之间是一一对应的关系，那么我们就可以考虑复数的集合表示法。这一点与向量有些相似，在下面的学习中我们要注意二者之间的联系与区别。

【学 习 目 标】

【学习目标】

1．

理解复数与复平面内的点、平面向量的一一对应关系；

2．

能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量，说明复数的模的定义。

3．

能说明复数与向量之间的关系

【学习重点】理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

【二 次 备 课】 一、标高确定及例题增删：

1. 删掉：

2．增加：

二、教学流程：

【课 前 学 习】 一、复习回顾：

1.

复数的代数形式：zabi(aR,bR)及分类

2.

zabi(aR,bR)为纯虚数

3.

思考：两复数能比较大小吗？

二、自主探究：阅读教材P52-53

（一）

复数的几何表示：

1.

复数zabi(aR,bR)与有序数对(a,b)的关系：

2.

复数的几何表示：

（1）

分别在坐标系中描出与下列复数对应的点：

14i,72i,2,0,3i,

【思考】观察所描出的点，从中我们可以得出什么结论？

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（2）

复平面及坐标系的建立：

3.

复数的模：

【课堂学习过程】

一、

课前学习成果交流：

二、

新知探讨：

（一）

复数的表示法：

1.

代数表示：

2.

几何表示：

（1）

点表示：

（2）

向量表示：

（3）

复数的模：

（二）共轭复数：zabi(aR,bR)的共轭复数为

【特别地】两复数相等的规定：abicdi(a,b,c,dR)

（三）复数集及复数的分类：

1. 复数集的表示：

2. 复数的分类及图示：

【易错点】

三、

问题探究：

例1．如果复数(m3m4)(m5m6)i表示的点在实轴或虚轴上，那么实数m的值为（

）

A．1或6

B．4或6

C．1或4

D．1，

4或6

22【变式】实数m取什么值时，复平面内表示复数z(m8m15)(m5m14)i的点．

22（1）

位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线yx上？

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例2. 在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数是2i．

（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB对应的复数；

（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．

例3.ABCD是平行四边形，A，B，C三点坐标为（(1,3)，(0,1)，(2,i)，求点D点坐标。

例4.已知复数（x-2）+yi(x,yR)对应向量的模是3,则yx的最大值为

（

）

A．3312

B．3

C．2

D．3

【变式】若zC且|z|1,则|z22i|的最小值是（ ）

A．221

B．22+1 C．2-1 D．22

四、学习总结：

1.

复数的几何形式：zabi(aR,bR)

2.

zabi(aR,bR)的模：

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【学 习 测 评】 【学习评价一】教材P54练习

【学习评价二】

1．

分别写出下列各复数所对应的点的坐标。

23i,84i,80i,6,i,29i21,7i,0

32．

若复数Z(m23m4)(m25m6)i表示的点在虚轴上，求实数a的取值。

3. 已知复数x26x5(x2)i在复平面内对应的点在第三象限，求实数x的取值范围．

4.复数zlog2(x23x3)ilog2(x3)，设z在复平面上对应的点为Z

（1）若点Z在第三象限内，求x的取值范围；

（2）若点Z在直线x2y10上，求x的范围．

教学（学习）反思

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课题：§3.2.1复数的代数形式的四则运算

【课 题 引 入】

我们在上一节课谈到了复数与向量的联系，而在向量的学习中我们体会到其最重要的价值在于建立了一个强有力的运算工具，其学习的基本标准在于“四种运算、三种形式”体系的建立。那么，我们可以想到复数的运算体系也是类似的，我们先学习复数四则运算的代数形式及几何形式。

【学 习 目 标】

【学习目标】

1. 掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义；

2. 能说明复数加法满足的运算律并能作出解释。

【学习重点】掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义；

【二 次 备 课】

一、标高确定及例题增删：

1. 删掉：

2．增加：

二、教学流程：

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【课 前 学 习】

一、复习回顾：向量加减法的各种形式; (一)

向量加法：代数形式：

坐标形式：设a(x1,y1),b(x2,y2),则ab

几何形式：

(二)

向量减法：代数形式：

坐标形式：设a(x1,y1),b(x2,y2),则ab

几何形式：

（三）向量加法所满足的运算律：

交换律：

；结合律：

二、自主探究：阅读教材P56-60：设z1abiz2cdi(a,b,c,dR)，

其对应点分别为Z1(a,b),Z2(c,d)

（一）复数加减法：

1.

定义：z1z2=

2.

几何意义：

（1）复数加法的几何意义：

（2）复数减法的几何意义：

（二）

复数乘法：

1.

定义：z1z2=

2.

复数乘法所满足的运算律：

（三）

复数除法：

1.

定义：z1=

z2

（四）即时训练（做在教材上）

1. 教材P58——练习1

2. 教材P58——练习2

3. 教材P60——练习1（1），（2）

4. 教材P60——练习3(1),(2)

【思考】在自学探究中，你觉得学习中的困难是什么？有什么问题或心得与大家分享吗？

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【课堂学习过程】

一、

课前学习成果交流：

二、新知探讨：设z1abiz2cdi(a,b,c,dR)，对应点分别为Z1(a,b),Z2(c,d)

（一）复数加减法：

1.

定义：z1z2=

2.

几何意义：

（1）复数加法的几何意义：

（2）复数减法的几何意义：

（二）复数乘法：

1.

定义：z1z2=

2.

复数乘法所满足的运算律：

（三）复数除法：

1.

定义：z1=

z2

【拓展】共轭复数与分母实数化：

三、

问题探究：

例1．

例2. 计算（1）(14i)(72i) （2）(72i)(14i) （3）[(32i)(43i)](5i)

（4）(32i)[(43i)(5i)]

探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？

例2．1、计算（1）(14i)(14i)

（2）(14i)(72i)(14i)（3）(32i)2

2、已知复数Z，若，试求Z的值。变：若(23i)Z8，试求Z的值。

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例3．计算(32i)(23i)，(12i)(32i)（师生共同板演一道，再学生练习）

练习：计算

（2011课标全国理）复数A．32i3i，

2(12i)(1i)212i的共轭复数是（ ）

12i33i

B．i

C．i

D．i

55

【变式】

【拓展】几个特殊复数的计算性质：

（1）（2011湖北理）i为虚数单位，则(1i2011)（ ）

1iA．i

B．1

C．i

D．1

（2）(

1i4n1i4n13i613i6)()

．

)()

；若n为奇数，则(2222四、学习总结：

1.

复数的代数形式：zabi(aR,bR)及分类

2.

zabi(aR,bR)为纯虚数

3.

思考：两复数能比较大小吗？

【学 习 测 评】 【学习评价一】

1. 教材P58练习

【学习评价二】

1. 计算：

（1）84i5（2）54i3i（3）23i29i32i



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2.计算（1）1i2ii3

（2）iiiii

（3）23452i312i

3．(1i4n1i4n13i613i6)()

．

)()

；若n为奇数，则(22224.（2010上海理）若复数z12i(i为虚数单位），则zzz ．

5．若(310i)y(2i)x19i，求实数x,y的取值。

6.复平面上三点A、B、C分别对应复数1，2i,5+2i,则由A、B、C所构成的三角形是（

）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.锐角三角形 D.钝角三角形

7．在复平面上复数－3－2i,－4+5i,2+i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数是（

）

A.5－9i

B.－5－3i

C.7－11i

D.－7+11i

教学（学习）反思

知 识 链 接

（1）进行复数乘法运算时，类比多项式的乘法，在所得结果中把i换成1，并把实部与虚 部合并．

（2）进行复数除法运算时，通常将分母实数化，即分子与分母同乘以分母的共轭复数．

（3）在复数计算中常用到以下性质简化计算：

2i,n4k1,kZ,1,n4k2,kZ,n①i的性质：

i

i,n4k3,kZ,i,n4k,kZ.,n3k1,kZ,13②i的性质：n,n3k2,kZ,

221,n3k,kZ.111i1i2i等的性质．

i；③(1i)2i；i；i；ii1i1i

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课题：§3.2.2 复数的求解（拓展）

【学 习 目 标】

【学习目标】

1．

复习巩固复数的运算法则；

2．

能用待定系数法、方程思想等解决简单的复数求解问题。

【学习重点】

待定系数法求解复数

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【二 次 备 课】

一、标高确定及例题增删：

1. 删掉：

2．增加：

二、教学流程：

【课 前 学 习】

一、自主探究：

1. 计算：

i

2. 如果(x1)21，那么x的值是（

）

A．1i

B．1i

C．2i

D．2i.

3. 设复数zabi(a,bR)满足：z34i，求z．

【思考】复数求解的基本思路？

22011250(22i)8()=

1i 【课堂学习过程】

一、

课前学习成果交流：

二、

问题探究：

例1．已知x,yR，z1x2i，z23yi且z1z224i，则z1z2

．

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例2. （2011上海理）已知复数z1满足(z12)(1i)1i（i为虚数单位），复数z2的虚部

例3. 设复数z满足|z12i|1，求|z|的最小值。

三、学习总结：

1. 复数求解的基本思路：

2. 复数问题的基本分析策略：

为2，且z1z2是实数，求z2．

【学 习 测 评】 1ai

1.（2011安徽理）i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（ ）

2i11A．2

B．2

C．

D．

222. 设复数z对应的点在直线y3x上，且满足|z|2，求复数z。

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3. 若z1a2i,z234i，（1）z1z为纯虚数，求实数a的取值；（2）若1在复平面的下方，z2z2求实数a的取值。

4. 设复数z满足|z34i|1，求|z|的最小值。

教学（学习）反思

知 识 链 接

先看下面的问题：已知关于x的方程x2(k2i)x2ki0有实根，求实根以及实数k的值．

2在本题解决中，容易出现错误解法：由方程有实根，有(k2i)4(2ki)0，即k120，解得k23或k23．

以上解法的错误原因在于将R范围内的解题依据随意迁移到了复数范围内。

正解是：方程有实根，可设该实根为xx0(x0R)，代入方程整理成复数的代数标准形式．根据复数相等的条件，解出x0和k．同学们可以试一试！

2 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////