阅读与思考 海伦和秦九韶PPT专用教学设计内容

解三角形综合运用

1．正弦定理和余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则

定理

正弦定理

abc＝＝＝2R sin Asin Bsin Ca＝2Rsin A，b＝2Rsin B，

c＝2Rsin C；

变形形式(边角转化)

sin C＝sin A＝ab，sin B＝，

2R2Rc；

2R余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccos A；

内容

b2＝c2＋a2－2cacos B；

c2＝a2＋b2－2abcos C

b2＋c2－a2cos A＝；

2bcc2＋a2－b2cos B＝；

2caa2＋b2－c2cos C＝

2ab(1)已知三边，求各角；

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；

(3)已知两边和其中一边的对角，求其他角和边

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C

(1)已知两角和任一边，求另一角和其可解决的问题

他两条边；

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角

2.三角形中常用的面积公式

1(1)S＝ah(h表示边a上的高)；

2111(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C；

2221(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

2[熟记常用结论]

π2π1．在△ABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B＝，A＋C＝. 332．在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. 3．在△ABC中，∠A＞∠B⇔a＞b⇔sin A＞sin 4．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. [小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) B.

(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.(

) (2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(

) (3)在△ABC中，sin A＞sin B的充分不必要条件是A＞B.(

) (4)在△ABC中，a2＋b2＜c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．(

) (5)在△ABC的角A，B，C，边长a，b，c中，已知任意三个可求其他三个．(

) 答案：(1)√

(2)√

(3)×

(4)√

(5)×

二、选填题

1．在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于(

) A．23

B．12

C．27

D．28 12．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(

) 3155A.

B.

C.

593D．1 3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(

) A．有一解

B．有两解

C．无解

D．有解但解的个数不确定

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝3，c＝2，则A＝________. 5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．

6．已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，b＝3，A＝30°，则c＝________. π1.A

2.B

3.C

4.

5.23

6.1或2 3

考点一利用正、余弦定理解三角形[师生共研过关]

[典例精析]

(1)(2019·莆田联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos C1＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝(

) 2ππ2πA.

B.

C.

6335πD.

6(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C. 1①求角A的大小；

②若cos B＝，a＝3，求c的值．

3[解题技法]：正、余弦定理的应用技巧

(1)解斜三角形时，主要应用正弦定理和余弦定理，这两个定理应用时要注意区分．如果已知条件中边较多，常用余弦定理求解；如果要用正弦定理，题目条件中必须出现已知角．

(2)解斜三角形中最典型的是边边角问题，一般是先用正弦定理求出一个角的正弦值，如sin A＝x.①若sin A＝1，则∠A＝90°；②若sin A＞1，矛盾无解；③若0＜sin A＜1，可能有两解，也可能只有一解．需要比较两个边的大小，用“大边对大角”来确定A是两解或者一解．

(3)在解答三角形的综合题时，如果已知条件的关系式中同时出现角和边，应当利用正弦定理进行消元，实现边角统一，化为仅含边的关系式或仅含角的关系式．即“边角会聚综合题，正弦定理来统一”．

[口诀记忆]

斜三角形把我问，两个定理有区分；

余弦定理多见边，正弦定理角必现；

边边角，解难辨，正弦值，先计算；

等于1，九十度，大于1，矛盾出；

小于1时怎么办？利用大角对大边；

边角会聚综合题，正弦定理来统一．

[过关训练]

C51．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(

) 25A．42

B.30

C.29

D．25 2．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，Cπ所对的边，且c＝2，C＝，若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，则A＝________. 33．(2019·开封模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin A＋bsin B＋2bsin A＝csin C. (1)求C；

(2)若a＝2，b＝22，线段BC的垂直平分线交AB于点D，求CD的长．

[典例精析]

(2019·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcos C＝2a＋c. (1)求B；

(2)若b＝2，a＋c＝5，求△ABC的面积．

111[解题技法]：(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使222用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．

[过关训练]

1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为

a2＋b2－c2，则C＝(

) 4πππA.

B.

C.

234πD.

62．(2019·沈阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5，B2π153＝，△ABC的面积为，则cos 2A＝________. 343．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos A＝(2c－a)cos B. (1)求B；

(2)若b＝13，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．

[典例精析]

(2019·佛山质检)如图所示，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝AB⊥AD，AB＝1. (1)若AC＝5，求△ABC的面积；

π(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD. 6

[解题技法]

平面图形中计算问题的解题关键及思路

求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．

具体解题思路如下：

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．

[过关训练]

(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求cos ∠ADB；

(2)若DC＝22，求BC. 3π，4