小结优秀教案说课稿

不等式小结

一、题之源：课本基础知识

1．实数大小顺序与运算性质之间的关系

a－b>0a>b；a－b＝0a＝b；a－b<0a

2．不等式的基本性质

(1)对称性：a＞bb＜a；

(2)传递性：a＞b,b＞c

a＞c；

(3)可加性：a＞ba＋c＞b＋c,a＞b,c＞da＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b,c＞0ac＞bc, a＞b＞0,c＞d＞0ac＞bd；

(5)可乘方：a＞b＞0an＞bn(n∈N,n≥1)；

nn(6)可开方：a＞b＞0a＞b(n∈N,n≥2)．

3．二元一次不等式(组)表示的平面区域

不等式

Ax＋By＋C>0 Ax＋By＋C≥0

不等式组

4.二元一次不等式(组)的解集

满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x,y),叫做二元一次不等式(组)的解,所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．

5．线性规划的有关概念

名称

约束条件

线性约束条件

目标函数

线性目标函数

可行解

可行域

最优解

线性规划意义

由变量x,y组成的不等式(组) 由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于x,y的函数解析式,如z＝x＋2y

关于x,y的一次解析式

满足线性约束条件的解(x,y) 所有可行解组成的集合

使目标函数取得最大值或最小值的可行解

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

表示区域

直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域

不包括边界直线

包括边界直线

各个不等式所表示平面区域的公共部分

问题

a＋b6．基本不等式ab≤

2(1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0．

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

7．算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为ab,基本不等式可叙述为：两个正实数的2算术平均数不小于它们的几何平均数．

8．利用基本不等式求最值问题

已知x>0,y>0,则

(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x＝y时,x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小) p2(2)如果和x＋y是定值p,那么当且仅当x＝y时,xy有最大值是．(简记：和定积最大) 4二、题之本：思想方法技巧

1.理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质,是解不等式和证明不等式的依据和基础.

2.一般数学结论都有前提,不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前,一定要准确把握前提条件,注意放宽条件和加强条件与其结论的关系,以及条件与结论间的相互联系.如：同向不等式相加,方向不改变；都是正数的同向不等式相乘,方向不改变；异向不等式相减,方向与被减不等式方向相同；都是正数的异向不等式相除,方向与被除不等式方向相同；两个正数的n次(n∈N＋,n＞1)方(开n次方),当这两个正数相等时,它们的幂(方根)相等；而不等的两个正数,它们的幂(方根)不等,较大的正数幂(方根)较大.

(1)在应用传递性时,注意等号是否传递下去,如a≤b,b

(2)在乘法法则中,要特别注意“乘数c的符号”,例如当c≠0时,有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件,a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时,取“＝”)．

3．不等式中的倒数性质

11(1)a>b,ab>0⇒<；

ab11(2)a<0

abab(3)a>b>0,0；

cd111(4)0

(1)不等式两边都乘以一个代数式时,考察所乘的代数式是正数、负数还是0；

(2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；

(3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等．

5.不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种,前者一般是证明不等式的理论基础,后者一般是解不等式的理论基础.

6.比较两个实数的大小,有作差法和作商法两种方法.一般多用作差法,注意当这两个数都是正数时,才可以用作商法.作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系.

7.对于实际问题中的不等量关系,还要注意实际问题对各个参变数的限制. 8.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的确定,受二次项系数a的符号及判别式Δ＝b2－4ac的符号制约,且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系,可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象,数形结合求得不等式的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的条件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0,则a＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时,必须考虑二次项系数为0这一特殊情形.

9.解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时,要注意分母不等于0,转化为不等式f（x）f（x）组.(注：形如≥0或≤0的不等式称为非严格分式不等式).

g（x）g（x）10.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论,能避免讨论的应设法避免讨论.对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析,必须注意分类不重、不漏、完全、准确.

11.解不等式的过程,实质上是不等式等价转化的过程.因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.

12.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解,这体现了转化与化归的数学思想.

13.对给定的一元二次不等式,求解的程序框图是：

14.不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）

15.二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法

(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；

(2)当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点．

16.如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点,到底是哪个顶点为最优解,有三种解决方法：

第一种方法：将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的一个便是.

第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断.

特别地,当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时,其最优解可能有无数组.

第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点Pi逐一代入目标函数ZPi＝mx＋ny,比较各个ZPi,得最大值或最小值. 17. 辨明两个易误点

(1)画出平面区域,避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)；

(2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的,即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个,也可能有无数多个,也可能没有．

18．求z＝ax＋by(ab≠0)的最值步骤

azz将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋,通过求直线的截距的最值间接求出z的bbb最值．

zz(1)当b>0时,截距取最大值时,z也取最大值；截距取最小值时,z也取最小值；

bb

zz(2)当b<0时,截距取最大值时,z取最小值；截距取最小值时,z取最大值．

bb19.利用线性规划解决实际问题的求解步骤如下：

(1)审题：仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,主要变量有哪些．由于线性规划应用题中的量较多,为了了解题目中量与量之间的关系,可以借助表格或图形；

(2)设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x,y,并列出相应的不等式组和目标函数；

(3)作图：准确作图,平移找点(最优解)；

(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)；

(5)检验：根据结果,检验反馈．

20.要熟悉基本不等式的变式和推广,这对提高解题能力是有帮助的,常见的基本不等式和推广有：

（a＋b）2①a＋b≥；

222a2＋b2②ab≤；

21③ab≤(a＋b)2；

4a＋b2a2＋b2④2≤2；

⑤(a＋b)2≥4ab；

2⑥ab≥；

11＋ab⑦a＋b＋c3≥abc；

3a3＋b3＋c3⑧abc≤等.

3⑨a、b、cR,abcabbcca（当且仅当abc时,取等号）；

对于上面的式子,要明了其成立的条件和取“＝”的条件.

21.在利用基本不等式求最值时,要注意一正,二定,三相等.“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时,还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件,使待求式能取到最大或最小值.

22.基本不等式的应用在于“定和求积,定积求和；和定积最大,积定和最小”,必要时可以通过变形(拆补)、运算(指数、对数运算等)构造“和”或者“积”为定值.

1123.求＋型最值问题,常通过“1”来进行转化,但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决,有ab222

一些看似可以通过基本不等式解决的问题,由于条件的限制,等号不能够成立,这时就不能用基本不等式来解决,而要借助于其他求值域的方法来解决.

ax2＋bx＋c24.对于形如f(x)＝的最值问题,只要分母x＋d＞0,都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)x＋d＋e＋h(这里ae＞0；若ae＜0,可以直接利用单调性等方法求最值),再利用基本不等式求其x＋d最值. 25. 一般地,对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题,对于“恒成立”的不等式,一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外,要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：

(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；

(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；

(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；

(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.

三、题之变：课本典例改编

1.原题（必修5第75页习题3.1A组第2题）改编

若amn0,试比较amam与anan的大小. 【解析】平方作差可得：amamanan. 2.原题（必修5第80页习题3.2A组第3题）改编

已知方程2x(m1)xm0有两个不等正实根,求实数m的取值范围. 【解析】依题意有：0,2(m1)0,f(0)0,故0m322或m322. 22mx2(1m)xm的定3.原题（必修5第81页习题3.2B组第二题）改编1

若函数y义域为R,则m的取值范围是

．

【解析】要使y则

mx2(1m)xm有意义,即mx2(1m)xm0对xR恒成立,m01m,即.

223(1m)4m0改编2

若mx(1m)xm0恒成立,则m的取值范围是

．

2

【解析】当m0时,不等式等价于：-x0,即x0不是恒成立,m0

要使mx2(1m)xm0恒成立,则m0(1m)4m022,即m1.

改编3 若函数yloga[mx2(1m)xm]的定义域不是R,则m的取值范围是

．

【解析】要使函数yloga[mx2(1m)xm]有意义,则存在xR,使得mx2(1m)xm0（*）

0,即x0,满足题意；当m0时,(1m)24m20,即

当m0时,（*）等价于：-x

0

m1；当

31．

3m0时,(1m)24m20,即1m0；综上,1m改编4

若函数yloga[mx2(1m)xm]的值域是R,则m的取值范围是

．

4.原题（必修5第80页习题3.2A组第四题）改编

已知不等式x22x30的解集为A,不等式x2x60的解集是B. （1）求AB；（2）若不等式x2axb0的解集是AB,

求ax2xb0的解集. 【解析】（1）解x22x30得1x3,所以A(1,3).

解x2x60得3x2,所以B(3,2).

∴

AB(1,2).

a11ab0xb0的解集是(1,2),所以（2）由x2a,解得

∴

x2x20,b242ab0解得解集为R.

5.原题（必修5第87页例题）改编

横坐标、纵坐标都是整数的点是整点坐标．若直线y2xk（为正整数）,与坐标轴围成三角形内的整点坐标（含周界）的个数是100,则等于（

）

A．9

B．18

C．11

D．22 【解析】B. x27x10,(x1)的值域.

6.原题（必修5第100页练习题第1题）改编

求函数yx1