2.3.2 圆的一般方程课程导入

《圆的一般方程》教案

圆的一般方程

课题

授课课时

授课题目(章，节) 教材及参考书目

圆的一般方程

1课时

课型

授课时长

新

45分钟

第四章第一节4.2.1圆的一般方程

人教A版高中数学实验教科书必修2

●教学目的与要求

一、知识目标：(1)理解记忆圆的一般方程的代数特征。

(2)掌握方程x2y2DxEyF0表示圆的条件。

二、能力目标：(1)能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程。

(2)能应用待定系数法求圆的一般方程。

(3)能应用代入法求一般曲线的方程。

(4)培养探索发现及分析解决问题的能力。

三、情感目标：(1)培养学生勇于探索的精神。

(2)渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质。

●教学重点

圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待定系数法求圆的一般方程

的步骤

●教学难点

圆的一般方程和代入法的掌握、应用

●教学方法

师生合作式探究

诱导启发式教学

●

教学辅助

多媒体教学平台 CAI课件

●教学过程与时间分配

一、复习提问，引入课题

（3 分钟）

二、探索研究，讲授新课

（22分钟）

三、例题讲解，对应练习

（16分钟）

四、课堂小结，反馈回授

（3 分钟）

五、分层作业，巩固提高

（1 分钟）

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《圆的一般方程》教案

教学基本内容

一、复习提问，引入课题

问题：求过三点(0,0)，(1.1)，(4,2)的圆的方程？

设计意图

⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出指出本节课【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，新课程，最后得出运用圆的知识很难解决问题。因为圆的标准方程很的主要内容. 小组讨麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。于是老师提⑵质疑提问，提高了学生学习问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究论，的兴趣. 圆的一般方程。

【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。

二、探索研究，讲授新课

请同学们写出圆的标准方程：

⑴学生动笔、思考，(xa)2(yb)2r2、圆心(a，b)、半径r 老师引导、启发，让把圆的标准方程展开，并整理: 学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力. 取D=-2a E=-2b F=abr

222x2y22ax2bya2b2r20

⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方

程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦. ⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一x2y2DxEyF0

这个方程就是圆的方程. 反过来给出一个形如xyDxEyF0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

把x2y2DxEyF0配方得：

(xD2EDE4F)(y)2

22422222【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。

问题：这个方程是不是表示圆？

般方程，并指出不是

DE⑴当D2E24F2﹥0时，方程表示以(-，)为圆心，以

所有的方程都可以

221表示圆。使得学生的D2E24F为半径的圆. 2认识不断加深，同时

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《圆的一般方程》教案

教学基本内容

⑵当D2E24F2=0时，方程只有实数解x即只表示一个点(DE,). 22设计意图

DE,y

培养思维的严谨性. 22

⑶当D2E24F2﹤0时，方程没有实数解，因此它不表示任

何图形.

【师生互动】学生在教师的引导下对方程分类讨论，最后师

生共同总结出3种情况，即圆的一般方程表示圆的条件。

【归纳总结】圆的一般方程的特点：

⑴①x2和y2的系数相同，都等于1。

②没有xy这样的二次项。

⑵圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，就能确定圆的一般方程。

⑶圆的一般方程是一种特殊的二元一次方程，代数特征明显，圆的标准方程则是几何特征明显。

⑴归纳知识，有利于学生理清知识脉络. ⑵强调的概念的本质，让学生理解记忆圆的一般方程的代数特征. ⑶深化学生对圆的一般方程的理解. 【师生互动】学生小组讨论交流，老师进行课堂巡视指导，

引导学生归纳。最后师生共同总结出圆的一般方程的特点。

【辅助手段】板书配方和展开过程，多媒体课件幻灯片展示

三、例题讲解，对应练习

检测学例1 判断下列二元一次方程是否表示圆的方程？如果是，请⑴同步练习，求出圆的圆心及半径。

⑴4x24y24x12y90

⑵4x24y24x12y110

分析：方法1 利用配方法将其化为圆的标准形式. 方法2 应用圆的一般方程来解，这里D=-1,E=3,F=生的掌握情况，及时回授，强化知识点的应用. ⑵加深对所学知识的理解应用，使学生9.

掌握基础知识，有利4于学生更高思维能例2

求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程，并求这个

力的培养. 圆的半径长和圆心坐标。

分析：根据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的

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《圆的一般方程》教案

教学基本内容

一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不

妨试着先写出圆的一般方程。

【教师讲解】设圆的方程为x2y2DxEyF0

设计意图

∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程

的解，代入方程得到：

F0

DEF20

即D=-8

E=6

F=O 4D2EF200⑴进一步熟悉圆的一般方程. ⑵通过本题的练习，使学生掌握待定系数法求解圆的一般方程的步骤.

⑴总结题目方法，提炼出解决一般问题的方法，形成类型题的方法. ⑵强调方法的本质，加深学生对方法的理解应用.

∴所求的方程为x2y28x6y0

r12DEDE4F=5、=4、=-3 22222 ∴圆心坐标为(4,-3) 或将x2y2DxEyF0化为圆的标准方程：

(x4)2(y3)225

【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤

⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。

⑵根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组。

⑶解出a、b、r或D、E、F并将其代入其相关方程。

例3

已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆上

(x1)2y24运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。

分析：如图点A运动引起M运动，而点A在圆上运动点A 的坐标满足方程(x1)2y24，建立点M与点A的关系，

就可以建立点M的坐标满足的条件，也就出了M的方程。

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《圆的一般方程》教案

教学基本内容

【教师讲解】：设点M的坐标是(x,y)，点A的坐标是(x0,y0)，

由于点B的坐标是(4,3)，且M是线段AB的中点，所以有：

xx04y4

，y0

22设计意图

⑴进一步熟悉圆的一般方程. ⑵掌握运用代入法于是有

x02x4

，y02y3

因为点A在圆(x1)2y24上运动，所以点A的坐标满求解曲线的轨迹方足方程(x1)2y24

即

(x01)2y024

把①代入②，得:

(2x41)(2y3)4

整理，得: 33

(x)2(y)21

2233所以，点M的轨迹是以(，)为圆心，半径是1的圆. 2222程的步骤. ⑶培养学生运用知识的能力.

⑴总结归纳，把方法系统化，形成能力.

⑴让学生熟悉巩固知识，运用方法，另外还可让学生上台演习各自解题过程. 这样既可及时反馈

学生知识的掌握情况，又可以纠正学生

在解题过程中出现

的各种问题，如方法错误、书写不规范等

- 5 - 【归纳总结】运用代入法求轨迹方程的步骤

⑴建立适当的坐标系，用有序数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标.

⑵写出适合条件的点M的集合.

⑶列出方程f(x,y)0. ⑷化方程f(x,y)0为最简形式.

【课堂练习】

1 求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长

⑴x2y26x0 ⑵x2y22by0

⑶x2y22ax23ay3a20

2 判断下列方程分别表示什么图形

⑴x2y20

⑵x2y22x4y60

⑶xy2axb0

222

《圆的一般方程》教案

教学基本内容

3 如图，等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4，高为3，

求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求出圆心坐标和半径.

提示：待定系数法的应用.

设计意图

问题. ⑵进一步巩固代入法等数学方法，提高学生的思维能力和运用知识解答问题的能力.

⑴有利于学生理清【师生互动】⑴第一二题练习课让学生通过抢答的形式进行.

⑵第三题练习是待定系数法方法的运用，教师可叫几个同学上黑板进行板演，教师适当点评，最后教师讲解解题过程. 【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示，学生自练或板演，教本节课的重难点，深师讲评解题过程.

化对圆的一般方程四、课堂小结，反馈回授

的理解，帮助学生从

1、对方程x2y2DxEyF0的讨论和圆的一般方程的感性认识上升为理代数特征理解.

2、圆的一般方程和标准方程的互化.

3、待定系数法求解圆的一般方程.

4、代入法求解曲线的轨迹方程.

五、分层作业，巩固提高

必做题：教材134页3、4 选做题：

1．已知点M与两个定点O(0,0)、A(3,0)的距离的比为点M的轨迹方程。

【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示作业

性认识. ⑵有利于学生把知识转化为能力，形成数学方法和数学思维. ⑶启发引导学生进行归纳整理，培养学生宏观掌握知识的1，求能力. 2

⑴必做题与选做题

相结合，面向全体学

生，激发学生兴趣.

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《圆的一般方程》教案

教学基本内容

六、板书设计

课题

标准方程的展开

一般方程的配方

一般方程什么时候表示圆的讨论

设计意图

例3

课堂小结

课后作业

例1

例2

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《圆的一般方程》教案

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