1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用课堂实录

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概率统计

——独立性检验

[典例感悟] 主要考查抽样方法、随机事件、古典概型、频率分布直方图或茎叶图的应用以及K2的计算与应用.

[典例1]

(2018·全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由．

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

第一种生产方式

第二种生产方式

超过m

不超过m

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

nad－bc2附：K＝，

a＋bc＋da＋cb＋d2

P(K2≥k)

k . 0.050

3.841

0.010

6.635

0.001 10.828

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[审题定向] (一)定知识

主要考查茎叶图及应用、中位数、2×2列联表、K2的值．

(二)定能力

1.考查数据分析：由茎叶图中的数据提取后进行分析；由K2的值进行分析. 2.考查数学运算：K2的求解. (三)定思路

第(1)问观察、比较、判断：

观察茎叶图，通过比较中位数、平均数等统计数据作出结论；

第(2)问利用中位数定义，2×2列联表定义求解：

根据中位数的定义求中位数，并完成2×2列联表；

第(3)问计算K2的值：

计算出K2的值并与临界值表比较，进而得出结论.

[解]

(1)第二种生产方式的效率更高．

理由如下：

(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 min，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 min.因此第二种生产方式的效率更高．

(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 min，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 min.因此第二种生产方式的效率更高．

(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间高于80 min；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间低于80 min.因此第二种生产方式的效率更高．

(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高．

(以上给出了4种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可得分) 79＋81(2)由茎叶图知m＝＝80. 2

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列联表如下：

第一种生产方式

第二种生产方式

2超过m 15

5

不超过m

5 15 4015×15－5×52(3)因为K＝＝10>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率20×20×20×20有差异．

[典例2]

(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：

(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

旧养殖法

新养殖法

(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．

附：

P(K2≥k)

k ，

0.050

3.841

0.010

6.635

0.001 10.828 箱产量＜50 kg

箱产量≥50 kg

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nad－bc2K＝. a＋bc＋da＋cb＋d2[审题定向] (一)定知识

主要考查用频率估计概率、独立性检验的应用、用样本估计总体．

(二)定能力

1.考查数据分析：由频率分布直方图中的数据、K2的值进行分析. 2.考查数学运算：频率的计算、K2的计算、中位数估计值. (三)定思路

第(1)问利用频率估计概率：

根据频率估计概率；

第(2)问计算K2的值：

根据独立性检验的步骤求解；

第(3)问利用平均值(中位数)比较：

观察频率分布直方图得出平均值(或中位数)的取值区间，再进行比较.

[解]

(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为

(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

旧养殖法

新养殖法

根据表中数据及K2的计算公式得，

200×62×66－34×382K＝≈15.705. 100×100×96×1042箱产量＜50 kg

62

34

箱产量≥50 kg 38 66 由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．

(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．

[类题通法]

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解决独立性检验与概率综合问题的3步骤

(1)分析数据：根据条件中提供的数据准确分析数据．

(2)准确计算：对频率的计算或K2的计算确保计算准确．

(3)作出结论：用频率估计概率或根据K2的观测值与临界值进行对比时，注意问题的结论回答准确．

[对点训练] (2018·西安八校联考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)的工人300名，25周岁以下的工人200名．为了研究工人的日平均生产件数是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)根据“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图，求25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数)；

(2)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；

(3)规定日平均生产件数不少于80的工人为生产能手，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

25周岁以上

(含25周岁)组

25周岁以下组

合计

nad－bc2附：K＝，

a＋bc＋da＋cb＋d2生产能手

非生产能手

合计

P(K2≥k0)

k0

0.100

2.706

0.050

3.841

0.010

6.635

0.001 10.828 300解：采用分层抽样，“25周岁以上(含25周岁)组”应抽取工人100×＝60(名)，300＋200

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200“25周岁以下组”应抽取工人100×＝40(名)．

300＋200(1)由“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图可知，其中位数为70＋0.5－0.05－0.352010×＝70＋≈73(件)．综上，25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件0.357数的中位数的估计值为73. (2)由频率分布直方图可知，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上(含25周岁)的工人共有60×0.005×10＝3(名)，设其分别为m1，m2，m3；25周岁以下的工人共有40×0.005×10＝2(名)，设其分别为n1，n2，则所有基本事件为(m1，m2)，(m1，m3)，(m1，n1)，(m1，n2)，(m2，m3)，(m2，n1)，(m2，n2)，(m3，n1)，(m3，n2)，(n1，n2)，共10个．记“至少抽到一名‘25周岁以下组’的工人”为事件A，事件A包含的基本事件共7个．

7故P(A)＝. 10(3)由频率分布直方图可知，25周岁以上(含25周岁)的生产能手共有60×[(0.02＋0.005)×10]＝15(名)，25周岁以下的生产能手共有40×[(0.032 5＋0.005)×10]＝15(名)，则2×2列联表如下.

25周岁以上

(含25周岁)组

25周岁以下组

合计

2生产能手

15

15

30

非生产能手

45

25

70

合计

60 40 100 100×15×25－15×45225K＝＝≈1.786<2.706. 1460×40×30×70综上，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．