一 比较法教学实录与评析

比较法

晋江市毓英中学

龙凤

一、教材分析

比较法是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学选修4-5第二讲第一节的内容, 本节课需一课时，主要通过实数大小的基本事实，用作差法或作商法证明不等式，体现了较强的恒等变换技能。

二、

教学目标设计

(1) 知识与技能

理解用比较法证明不等式的依据，掌握用比较法证明不等式的一般步骤。

（2）过程与方法 培养学生综合运用所学知识进行恒等变换的能力，进一步体会转化与化归数学思想。 （3）情感、态度与价值观 经历恒等变换探究过程，将实际生活中现象抽象为不等式，感受数学与日常生活的联系发展数学应用意识。

三、学情分析

学生在必修5的学习中初步体会了一些证明不等式的方法，前一讲学习了关于实数大小的基本事实、不等式的基本性质、基本不等式、含有绝对值的不等式的性质。这些都为本节课的学习奠定了基础。

四、教学重点与难点分析

掌握用比较法证明不等式的一般步骤，对代数不等式进行恒等变形。

五、教法与学法分析

（一）教法

利用多媒体作辅助手段，以教师为主导，学生为主体。

（二）学法

通过独立思考，自主探究，合作探究，从而解决问题

六、教学过程设计

（一）引入

1、我们如何比较两个代数式的大小？由前一讲不等式的性质中我们知道：

若abab0

若abab0

若abab0

33222例：已知a,b都是正数，且ab，求证ababab

证明：

(a3b3)(a2bab2)

作差

(a3a2b)(ab2b3)a2(ab)b2(ab)(a2b2)(ab)(ab)2(ab)a0,b0且abab0,(ab)0(ab)(ab)20即(a3b3)(a2bab2)0a3b3a2bab22

变形

与0比较

定号

【设计意图】明确作差法的一般步骤，初步体会代数式的恒等变形

（二）牛刀小试 例2：已知ab，求证：a46a2b2b44ab(a2b2)

（本例让学生独立完成后利用多媒体展台展示学生的证明。）

【设计意图】通过学生独立完成，提高恒等变形能力，进一步明确将差式通过因式分解配方法等变成一个能够明显看出其符号的代数式。

（三）探究学习

如果用a

kg白糖制出b

kg糖溶液，则糖的质量分数为a。若在上述溶液中再添加m

bkg白糖，此时糖的质量分数增加到am。将这个事实抽象为数学问题，并给出证明。

bm分析：生活经验告诉我们，在已有的糖溶液中加糖，糖的质量分数增大。

解：上述事实抽象为不等式问题：

已知a0,b0,m0并且ab

则ama

bmb证明 amam(ba)-

bmbb(bm)

abba0m(ba)0 b(bm)amabmb

变式：若

求证

【设计意图】认识到生活中数学无处不在，增强数学的应用意识，力求对现实世界中蕴含的一些数学模式进行思考和判断。

（四）典例剖析

1.例：已知a,b,cR,求证a2ab2bc2cabcbcacab

分析：1.作商时注意不等式两边所除的代数式符号，以确定不等号的方向是否改变。2.两边相除后，问题转化为判断一个幂是否大于1，可以借助指数函数的性质加以解决。3.所证不等式具有“轮换对称”的特点，我们只需假设一类情况即可。

为什么这样假 证明：不妨设abc0

设？

a2ab2bc2cabcbcacab 则a2abcb2bcac2cab

ababbcbccaca如何比较此代数式的1的大小？

abc0a则babb1,cbcbcc1,acaca1

abc bca又abcbcacab0ab1a2ab2bc2cabcbcacab2.变式：已知a>b>c>0，求证：abc

【设计意图】明确作商法的步骤，适用情况，并能借助指数函数性质解决问题，能通过不等式具有“轮换对称”的特点，对不等式中的字母进行假设。

abc1>(abc)3(a＋b＋c)．

（五）知识整理，形成系统

【设计意图】小结本节课内容，明确比较法作为最基本的证明不等式的方法，在证明中选择合适的方法，注重恒等变形定号，建立良好的认知结构。

（六）布置作业

课后强化

见评测练习

【设计意图】通过作业，反馈教学效果，提高教学效率

七、教学反思

不等式的证明题型多变，方法多解，技巧性强，没有固定的程序和统一的方法、证明不等式的一般方法有做差比较法、做商比较法、综合法、分析法，其他方法有反证法、放缩法、换元法和判别式法。而对这些方法的使用，要根据不等式的结构特征，去分析条件与结论之间的内在联系，不断总结规律，选择合理有效的证明方法。比较法是证明不等式最常用的方法之一，其中有作差比较和作商比较法。

1. 作差比较法的基本步骤是：作差→变形→判断符号。其中“变形”是关键。通常需要配

方或因式分解，将差变形为几个因式的积或配成几个平方和的形式，有些形式也可用判别式法来判别符号。

2. 作商比较法的基本步骤是：作商→变形→判断商与1的大小关系。其中作商首先确定不等式两边代数式的符号。一般地证明幂指数不等式时常用作商比较法。证明对数不等式时常用作差比较法，当“商”或 “差”式中含有参数时通常都要对参数的取值进行分析。应引起注意的是比较法证明不等式问题经常借助于函数的单调性。

本节课的重点在于通过例题明确利用比较法证明的一般步骤，规范作答，提升学生的代数恒等变形能力，将实际生活中现象抽象为不等式，感受数学与日常生活的联系发展数学应用意识。