一 数学归纳法第二课时教学实录

“数学归纳法”的教学设计

安徽省岳西中学 余德水

“数学归纳法”的教学，是高中数学教学的难点之一，平铺直叙的教学往往使学生一筹莫展，收效甚微。在教学中，如何以“提高有效教学能力，促进学生有效学习”为指导，实施有效教学？如果以迁移规律为指导，采取类比迁移法组织教学，就可以收到良好效果。利用类比迁移法进行教学设计的关键是：“设”在类比中，“计”在迁移处。下面是利用类比迁移法，对“数学归纳法”一课进行的教学设计。

一、创设情境

1、袋中有5个乒乓球，如何证明它们都是白色的？

（完全归纳法） 2、当n=0，1，2，3时，代数式n²-n+5的值是质数。猜想：对于所有自然数n,n²-n+5的值是质数。（不完全归纳法）

3、首项为a1, 公差为d的等差数列的通项公式为:an= a1+(n－1)d (n∈N) 如何求得？

可以由呢？

出发，推出，再由推出,由推出,说说你又是如何求得

结论的猜测运用的是归纳法，是完全归纳法还是不完全归纳法？结论正确吗？如何证明呢？

二、初步体验

动画演示：观察

“多米诺骨牌”游戏，探究全部倒下的条件。

直观：①必须推倒其中一块；

②前一块倒下要确保碰后一块。

抽象：①推倒第n0块(n0=1或2等) ②从第n0块起, 假设第一块“倒下”，一定能使后一块也“倒下”。换种说法：假设第k块“倒下”(k≥n0,k∈N)，那么第k+1块“倒下”。

1

2 3 …

……

k+1 k

三、类比迁移

类比“多米诺骨牌”的原理来验证情境1中的猜想。

“多米诺骨牌”原理 ①第一块骨牌倒下； ②若第k块倒下，则使得第k+1块倒下

验证猜想 ↓ ↓

①n1验证猜想成立 ②如果nk时，猜想成立。即ak=a1+ (k－1)d，则当nk1时，ak+1=ak+d = a1+ (k－1)d+d= a1+[ (k+1)－1]d 即nk1时猜想成立

四、形成方法

证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：

(1) 证明当n取第一个值n0时结论正确；（归纳奠基）

(2) 假设当n＝k (k∈N，k≥n0) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确．（归纳递推）

*完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都正确．

这种证明方法叫做数学归纳法．

五、方法的应用

例1.用数学归纳法证明：

首项为a1, 公差为d的等差数列的通项公式为:an= a1+(n－1)d (n∈N). 证明格式：

分两步,然后下结论, 其中第一步是证明一个真实的命题，通常是用验证的方法来完成；第二步是证实一个有效的推理，由“ak=a1+ (k－1)d ①”要能推出“ak+1= a1+ [ (k+1)－1]d ②”，这相当于做一个条件等式的证明题

“若①则②”.

122232n2n(n1)(2n1)6

例2.用数学归纳法证明师生共同总结：

1、数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题。

2、两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；

3、在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，进行恒等变换。

4、完成第1)、2）步骤的证明后，要对命题成立进行总结。

1111n练习：用数学归纳法证明 2n12n12n1133557

六、小结与回顾

1、数学归纳法只适用于证明与正整数有关的命题。

2、用数学归纳法证明命题的一般步骤。

3、本节课通过从“多米诺骨牌”讲起，借助这个游戏的设计理念，揭示了数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

七、教学反思

1、由于中学阶段对数学归纳法的教学缺乏理论基础，因此学习的关键是通过对具体问题的解决，提炼出方法的一般模式。本节课借助“多米诺骨牌”的设计思想，通过类比，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。在经历问题的提出、思考的过程，通过具体的事例、直观的模型中加以抽象概括，从而逐步加深对数学归纳法原理的理解。

2、本节课通过创设愉悦的课堂情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，教学效果较好，达到了预期目标。

3、本节课优点：让学生经历了知识的构建过程，体会了类比的数学思想。不足之处：少数学生对数学归纳法第二步的认识难以到位。将解决由P(k)到P(k+1)的传递性问题，误解为证明P(k+1)的真实性.由此造成对证明中何以用“假设”的不理解。

4、改进设想：通过从不同的角度审视，更有利于学生全面地了解数学归纳法的本质。数学归纳法运用时对起点可作适当的偏移，对第二步的证明有一定的技巧，这些都可以留置下一课进行深入分析，本课侧重解决对数学归纳法基本原理和两步骤的初步理解