1.不等式的基本性质教学设计思路

人教A版选修4-3 1.1.1不等式的基本性质

教学设计

辉南六中 高二数学组 任丽丽

一、

学习目标

1.掌握比较两实数大小的方法; 2.理解不等式的性质；

3.会利用不等式的性质证明不等式和比较大小。

二、重点、难点

1.教学重点：掌握比较两个实数大小的方法，能运用不等式的性质证明简单的不等式; 2.教学难点：对不等式的性质的理解及应用. 三、知识导学

自学探究一：如何比较两个实数的大小?（使用不等式性质的前提条件）

1．两实数的大小比较

a－b<0

a－b；③a

(1)设a，b∈R，则①a>b⇔___________.

⇔__________a－b>0

；②a＝b

⇔_________a＝b

；③

<1

⇔_______a

.

⇔______a>b

；②

＝

(2)设b∈(0，＋∞)，则①>11⇔_______ababab自学探究二:不等式的基本性质有哪些？用符号语言表示出这些性质。

2．不等式的基本性质 (1)abba;abba(定理1,对称性) (2)ab,bcac(定理2,传递性) (3)abacbc(定理3,加法单调性) (4)ab,cdacbd(定理3推论,同向不等式相加) (5)ab,cdacbd(异向不等式相减) (6)a.b,c0acbc;ab,c0acbc(定理4,乘法单调性) (7)ab0,cd0acbd(定理4推论1,同向不等式相乘) (8)ab0,0cd(9)ab,ab0ab(异向不等式相除) cd11(倒数关系) ab(10)ab0anbn(nZ,且n1)(定理4推论2,平方法则)

(11)ab0nanb(nZ,且n1)(开方法则)

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自学探究三:不等式的性质中的“”和“”

在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“”与“”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”.这要求必须熟记与区别不同性质的条件.如a>b,ab>01111,而反之则包含几类情况，即若<，则可能有a>b,ab>0;也可能有ababa<0b,ab>0与1a1b是不等价关系。

四、课堂互动探究

题型一：比较大小

例1. 已知x0,比较(x21)2与x4x21的大小. 分析：两式作差比较大小．

解析：(x2 +1)2-(x4+x2+1) = x4+2x2+1-x4-x2-1 = x2 ∵x0 ∴x2>0 即(x2 +1)2>(x4+x2+1)

变形1：已知a＞b＞0，比较a与a＋1bb＋1的大小．

解析：

ab－a＋1b＋1

＝

a(b＋1)－b(a＋1)b(b＋1)

＝

a－bb(b＋1). ∵a＞b＞0，

∴a－b＞0， b(b＋1)＞0. ∴a－bb(b＋1)＞0. ∴aa＋1b＞b＋1. 点评：作差法比较大小的一般步骤是：

作差―→变形(因式分解、配方、通分、分母有理化等) ―→确定符号(与0比较) ―→结论．

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题型二：利用不等式的性质求范围

ππα＋βα－β例2.已知－≤α＜β≤，求，的范围．

2222分析：解答本题可利用不等式的性质求α＋βα－β，的范围．

22πππαππβπ证明：

∵－≤α＜β≤， ∴－≤＜，－＜≤，

22424424∴－∴－∴－πα＋βππβππβπ＜＜. 又－＜≤，∴－≤－＜，

222424424πα－βπα－β≤＜. 又∵α＜β，∴＜0，

2222πα－β≤＜0，

22α＋βππα－βπ即∈－，

， ∈－，0. 22222点评：本例中由αβα－β，的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而应转化为同222向不等式后作和求解．求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．

题型三：不等式性质的应用

例3.下列命题中正确的是( B ) (1)若a＞b ，c＞b ，则a＞c ； (2)若a＞b ，则lg ＞0 ；

11(3)若a＞b ，c＞d ，则ac＞bd ； (4)若a＞b＞0 ，则＜

；

abab(5)若＞

，则ad＞bc ； (6)若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c. A．(1)(2) B．(4)(6) C．(3)(6) D．(3)(4)(5) 点评：采用赋值法，使问题得以简化．赋值法是解答选择题、开放性问题的常用方法．

题型四：利用性质证明简单不等式

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abcd

例4.已知a>b>0 ，c

构造分母关系→构造分子关系→证明不等式

证明：

a>b>0

⇒c－d>0

ba－c>b－d>0

1>0(a－c)(b－d)11>(b－d)>0 (a－c)(b－d)(a－c)(b－d)⇒(a－c)⇒

11>>0b－da－c⇒a>b. b－da－ca>b>0 < 即 ab－da－c . 点评：不等式的性质是证明不等式的重要依据，在每步变形中都要符合不等式的性质.

五、课堂小结

1．不等关系与不等式．

(1)不等关系强调的是关系，而不等式则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”、

“a＜b”、“a≠b”、“a≥b”、“a≤b”等式子表示．不等关系可通过不等式来体 现，离开不等式，不等关系就无法体现．

(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．

2．不等式的性质．

对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质成立的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、很显然的理由代替不等式的性质．

特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．

3．比较两个实数的大小．

要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形方法，如：因式分解、配方法等．

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六、作业：课本P9第2、4题

七、课后练习：

1. 若a、b是任意实数，且ab，则（

D ）

b11A．ab B．1 C．lgab0 D．

a2222ab

2. 已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是（

A ）. 3333A．a＜b

B．a2

＜b2

C．－a＜－b

D．－a＜－b

3.

已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：

cdcd①若ab＞0，bc－ad＞0，则

－

＞0；②若ab＞0，

－ >0，则bc－ad＞0；

ababcdcd③若bc－ad＞0，

－

＞0，则ab＞0；④若a＞b＞c＞d＞0，则

－

＞0．

abab其中正确命题的个数有（

C ）. A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4．若1

∵－4

∴－4<－|b|≤0. 又∵ 1

∴－3

(－3,3) 八、教学后记: 我还有这些不足：

(1) (2) 我的课下提升方案：

(1) (2)

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