三 反证法与放缩法教学实录与评析

“反证法”教学设计

鸡西市第一中学 顾晓慧

一．教材内容及地位

本节课是人教版《数学》（选修4-5）“推理与证明”的第3节内容《反证法》的第一课时，学生主要学习间接证明的一种基本方法——反证法，学生通过学习，了解反证法的思考过程、方法特点、及应用范围。它是在学完直接证明的两种方法综合法和分析法后，出现的一种间接证明的方法，这种方法的学习有助于培养学生逆向思考的思维能力，从而完善解题过程中正反面结合的思维习惯:学,科,网Z,X,X,K]

二.教学目标

1.知识与技能

（1）学生通过具体的例子了解反证法的思考过程、特点

（2）学生通过已经学过的数学实例的证明体会反证法的证明过程，并能用反证法证明一些简单的数学命题

2.过程与方法

（1）学生借助实例分析体会反证法的证明原理

（2）学生通过实际演练体会在解决数学问题时，通过增加条件，增加了一种间接证明的方法——反证法

3.情感、态度与价值观

（1）学生通过反证法的运用，在解决问题时有了“正难则反”的思维方向，发展了自己的思维能力，渗透了运用辩证观点解决问题的意识

（2）学生认识到例题背后的数学文化，了解了数学发展的源远流长，激发了自己学习数学的兴趣

三、教学过程

（一）创设情境，引入课题（以下内容部分通过课件展示）

问题1：著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．

设计意图：学生能够从具体的例子中，感受到反证法的存在。

问题2：王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李. 设计意图：学生知道在数学证明方法中，还有这样一种证明方法. （二）引导探索，生成概念

问题3：已知：∠A，

∠ B，

∠ C是△ABC的内角. 求证：

∠ A，

∠ B，

∠ C中至少有一个不小于60°. 设计意图：让学生熟悉反证法的步骤，并且知道反证法的关键是如何由结论的反面得出矛盾

问题4：你能总结一下什么叫做反证法吗？

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.[来源:Zxxk.Com]

设计意图：学生试着总结反证法的定义. 问题5：有了反证法的定义，你能总结出用反证法证明题目的步骤吗？

反证法证明题的步骤：

假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立. 从假设出发，经过推理，得出矛盾.

由矛盾假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 设计意图：学生试着总结反证法证明题目的步骤. （三）学以致用，理解感悟

探究：你能说出下列结论的反面吗? 1.

a⊥b 2.d是正数 3.a≥0 4.a∥b 5.至少有三个 6.最多有一个

设计意图：学生体会从假设出发，如何推导出与已知矛盾，明确有时候结论的反面不一定唯一，注意不要漏掉。

原词语

等于

是

都是

大于

小于

否定词

原词语

任意的

否定词

至少有一个

至多有一个

至少有n个

至多有n个

对任何x，

不成立

对所有x,成

立

设计意图：一方面，这个问题是探究知识的延续，另一方面，为接下来的例题和课后的练习和习题做准备，学生通过此题，能在课后的训练中举一反三，灵活运用. 例1. 例2 例3 高考链接：(2015湖南高考)

设计意图：针对例1、例2、例3进行训练，回顾反思，深化认识

课堂练习：

设计意图：例题与课堂训练有机结合，学生通过作业的训练，能用反证法解决一些基本的数学问题

课堂小结：通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？

（关键词：证明方法，数学思想，情感体验等．）

证明方法：反证法

一般步骤：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立. （2）从假设出发，经过推理，得出矛盾. （3）由矛盾假设不正确，从而肯定命题的结论正确.[来源:学科网ZXXK]

矛盾情况：

可以与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾. 适用范围：

（1）当已知条件与结论之间的关系不够明显，直接由条件推的结论的线索不够清晰；

（2）如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，只要研究一种或很少的几种情形；

（3）结论是否定形式的命题；

（4）关于“存在性”和“唯一性”命题及其他直接证明有困难的命题. 数学思想：学会逆向思维. 情感体验：渗透了运用辩证观点解决问题的意识.

设计意图：给出问题，要求学生自主小结，再推出引导性关键词，使得总结简明、到位、拔高．

布置作业

设计意图：课堂与课后训练有机结合，学生通过作业的训练，能用反证法解决一些基本的数学问题. 板书设计

反证法

1.反证法的定义

3.例题

2.反证法的一般步骤

教后反思

我觉得这节课的设计亮点有：一是通过增加探究问题的训练，学生能从例1很好的过度到例2的学习中去，二是将课堂和课后的训练有机的结合，真正让学生不再出现“课堂上一听就懂，课后一做就错”的数学学习怪圈.